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| 《火线100天》2015中考数学复习滚动小专题(八)圆的有关计算与证明 |
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滚动小专题（八）圆的有关计算与证明
圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系.
例(2014·江西)如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.
(1)求△OPC的最大面积；
(2)求∠OCP的最大度数；
(3)如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB.当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线.
【思路点拨】(1)当OP⊥OC时△OPC的面积最大，利用已知条件即可求出△OPC的最大面积；
(2)当PC与⊙O相切时∠OCP的度数最大，利用三角函数可求出∠OCP的最大度数；
(3)连接AP，BP，由圆的有关知识可得△OPC≌△PBD，从而得出∠OPC＝∠PBD，继而可证得结论
【解答】(1)∵△OPC的边长OC的是定值，
∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大.
∵AB＝4，BC＝2，
∴OP＝OB＝2，OC＝OB+BC＝4.
∴S△OPC＝OC·OP＝×4×2＝4,
即△OPC的最大面积为4.
(2)当PC与⊙O相切，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大.
在Rt△OPC中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，
∴sin∠OCP＝＝，∴∠OCP＝30°.
(3)证明：如图2，连接AP，BP.
∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.
∵CP＝DB，∴AP＝PC，∴∠A＝∠C.
∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.
∵OC＝PD＝4，PC＝BD，∴△OPC≌△PBD，
∴∠OPC＝∠PBD.
∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°，
∴∠OPC＝90°，∴OP⊥PC.
又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线.
方法归纳：与圆有关的计算和证明通常都与切线有关，切线的性质和判定的运用是解决这类题目的关键.
1.(2014·黄石)如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点.
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长.
2.(2014·昆明)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
3.(2014·东营)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD.
(1)求证：FD是⊙O的一条切线；
(2)若AB=10，AC=8，求DF的长.
4.(2013·丽水)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
(1)求证：BE=CE；
(2)求∠CBF的度数；
(3)若AB=6，求的长.
5.(2014·临沂)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)证明：DE为⊙O的切线；
(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
6.(2013·泸州)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
（1）求证：CD2=CA·CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=.求BE的长.
参考答案
1.(1)证明：连接OC.
∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°.
∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.
∴OA=AC.
同理OB=BC.
∴OA=AC=BC=OB.
∴四边形AOBC是菱形.
∴AB平分∠OAC.
(2)∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°.
∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形.
∵OA=AC，∴AP=AC.∴∠APC=30°.
∴△OPC是直角三角形.
∴PC=OC=.
2.(1)证明：∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1.
又∵∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A.
∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC.
∴AC是⊙O的切线.
(2)∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°.
在Rt△DOC中，OD=2，∴CD=OD=2.
∴阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE=×2×2-=2-.
3.(1)证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，∴FD∥AC.
∵∠AEO=90°，∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线.
(2)∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，∴EO=3.
∵AE∥FD，∴△AEO∽△FDO.
∴=.∴=，解得FD=.
4.(1)证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC.
又∵AB=AC，∴BE=CE.
(2)∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°.
又∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=27°.
(3)连接OD.
∵∠BAC=54°，∴∠BOD=108°，∴∠AOD=72°.
又∵AB=6，∴OA=3.
∴==.
5.(1)证明：连接OD，CD.
∵BC为⊙O直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB.
∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD.
∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线.
(2)∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD=BC=2，BD=BC·cos30°=2.
∴AD=BD=2，AB=2BD=4，
∴S△ABC=AB·CD=×4×2=4.
∵DE⊥AC，∴DE=AD=×2=，
AE=AD·cos30°=3.
∴S△ODE=OD·DE=×2×=，
S△ADE=AE·DE=××3=.
∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=14×4=，
∴S△OEC=S△ABC-S△BOD-S△ODE-S△ADE=4---=.
6.(1)证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CDB,∴=.
∴CD2=CA·CB.
(2)证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB.
∵∠OBD=∠CDA，∴∠CDA=∠ODB.
∴∠ODC=∠ADB=90°,∴CD是⊙O的切线.
(3)∵tan∠CDA=，∴tan∠CBD=.
在Rt△ABD中，tan∠CBD==，
由(1)得△CAD∽△CDB，∴==.
∴CD=8.设BE=x，则DE=x，
由勾股定理得x2+122=(x+8)2.解得x=5，
即BE=5.
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