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2课时完全平方公式1.掌握完全平方公式分解因式；2．会综合运用提公因式与完全平方公式解题．1.运用完全平方公
式，首先判断是不是符合完全平方公式特点；2.若多项式各项有公因式，先提取公因式，再用完全平方差公式因式分解．【
学习目标】【学法指导】填一填1．完全平方公式公式：(1)a2＋2ab＋b2＝_________；(2)a2－2ab
＋b2＝_________．文字表达：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的____倍，等于这两数和(或者差)的______
__．特征：(1)左边是二次三项式，其中首尾两项是两个数的完全平方，且它们的符号相同，中间是这两个数的2倍，符号正负均可；【知
识管理】(a＋b)2(a－b)22平方(2)右边是两数的和(或差的平方)．注意：(1)公式中的a与b可以是数，也可以是
单项式或多项式；(2)注意符号的正负．2．完全平方式的概念定义：多项式a2＋_______＋b2及a2－_______＋b2
叫做完全平方式．特征：这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的2倍．2ab2ab3．公式法定义：利用公式a2－b
2＝(a－b)(a＋b)，或a2±2ab＋b2＝(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法．特征：公式中的a，b可以是数
，也可以是整式．1．(知识点1)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是 ()A．x2＋1
B．x2＋2x－1C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋42．(知识点2)将x2－2xy＋y2分解因式，结果正确是(
)A．(x＋y)(x－y) B．x(x－2y)＋y2C．(x＋y)2 D．(x－y)2【对点自测】D
D3．(知识点2)因式分解：x2－10x＋25＝________．4．(知识点3)因式分解：－x2－4y2＋4xy＝_____
______.(x－5)2－(x－2y)2研一研类型之一利用完全平方公式因式分解例1分解因式：(1)16x2
＋24x＋9；(2)－3x2－12＋12x；(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.【解析】(1)中，16x2＝(4x)
2，9＝32，24＝2×4×3，所以16x2＋24x＋9是一个完全平方式；(2)先提出－3，再利用完全平方公式；(3)将a＋b看作
一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m2－12m＋36.解：(1)原式＝(4x)2＋2×4x×3＋32＝(4x＋3)2
.(2)原式＝－3(x2－4x＋4)＝－3(x－2)2.(3)原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62＝(a＋b－6)
2.【点悟】(1)作为首项的二次项系数为负数时，一般应先提取－1或整个系数；(2)如果各项有公因式，应先提取公因式．
1.分解因式：x3y－2x2y2＋xy3＝__________．【解析】先提公因式xy，再根据完全
平方公式的特征因式分解，原式＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2.2．分解因式：27x2＋18x＋3＝________
___．【解析】原式＝3(9x2＋6x＋1)＝3(3x＋1)2.xy(x－y)23(3x＋1)2类型之二完全平方式的概
念【解析】根据完全平方式的特征，kx的值为两数积的2倍．【点悟】完全平方式有两个，故k的值也有两个，且互为相反数．【解析
】①④适当地提取一个数后能用完全平方公式分解，③可以直接分解，故选C.CD3．如果x2－6x＋m恰好是一个整式的平方，那么
m＝____．9类型之三选择合适的方法因式分解例3因式分解：(1)8a3－2a(a＋1)2；(2)(x2＋y2)2－4
x2y2.【解析】(1)先提公因式2a，再用平方差公式；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式．解：(1)原式＝2a[4a
2－(a＋1)2]＝2a[2a＋(a＋1)][2a－(a＋1)]＝2a(3a＋1)(a－1)．(2)原式＝(x2＋y2＋2x
y)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.【点悟】因式分解的步骤是“一提”、“二套”，即先看有没有公因式可提，有公
因式就先提取公因式，然后再套用公式，用公式法来分解因式．1.下列各式分解因式正确
的是()A．(x－y)2＋10(y－x)＋25＝(x－y＋5)2B．(x－y)2－10(y－x)＋25＝(x－y
＋5)2C．(x－y)2＋10(y－x)＋25＝(y－x－5)2D．(x－y)2－10(y－x)＋25＝(x－y－5)2B
2．分解因式：(2a－b)2＋8ab＝__________．【解析】先根据完全平方公式展开，化简后，再运用完全平方公式因式分解
，原式＝4a2－4ab＋b2＋8ab＝4a2＋4ab＋b2＝(2a＋b)2.(2a＋b)2【点悟】(a－b)2＋4ab＝(a＋
b)2.3．因式分解：(1)4(x＋y)2－20(x＋y)＋25；(2)－a＋2a2－a3；(3)x4－18x2＋81.
解：(1)原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)×5＋52＝[2(x＋y)－5]2＝(2x＋2y－5)2.(2)原式＝－
a(a2－2a＋1)＝－a(a－1)2.(3)原式＝(x2－9)2＝[(x＋3)(x－3)]2＝(x＋3)2(x－3)2.
类型之四利用完全平方公式求值例4已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值．【解析】
x2－4x＋y2－10y＋29＝0可转化为x2－4x＋4＋y2－10y＋25＝0，即(x－2)2＋(y－5)2＝0，所以x－
2＝0，y－5＝0，再将多项式化简为x2y2(1＋2x＋x2)＝x2y2(1＋x)2.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0
，∴x2－4x＋4＋y2－10y＋25＝0，即(x－2)2＋(y－5)2＝0.又∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x
－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5.∴原式＝x2y2(1＋2x＋x2)＝x2y2(1＋x)2＝22×52×(1＋2)2＝
900.【点悟】利用完全平方公式把含有两个(或两个以上)的未知数的方程变成几个非负数的和等于0的形式，再利用非负数的性质求解．
1.已知x(x－1)－(x2－y)＝－3，求x2＋y2－2xy的值．【解析】先将
已知条件化简，然后把要求的代数式化成已知代数式的幂的形式，整体代入求值更简单．解：∵x(x－1)－(x2－y)＝－3，∴x2－x－x2＋y＝－3，∴x－y＝3，∴原式＝(x－y)2＝32＝9.练一练填一填研一研练一练全效学习学案导学设计填一填研一研练一练全效学习学案导学设计全效学习学案导学设计 |
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