第一章集合与命题
考点综述
集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理．此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件．
考点1集合的概念及相应关系
典型考法1与含参数的方程有关的集合已知集合
(1)若A是空集，试求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
集合A是方程在实数范围内的解集．
(1)若A是空集，则a≠0，且方程无解，得，即a的取值范围是．(2)当a=0时，，符合题意；当a≠0时，必须，，此时，符合题意；
综上所述，或．
(3)A中至多只有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素这两种情况，根据(1)和(2)的结果，知a=0或，故a的取值范围是．
，其中，，均为实数，
当a≠0时，是一元二次方程中的元素之和，则应分与这两种情形，具体为
(1)若，则有两个不等的实根，于是，非空集合
中的元素之和为；
(2)若，则有两个相等的实根，于是，非空集合
中的元素之和为．1．已知为单元素集，的取值的集合．2．3．对于函数f(x)，设，．
()求证：；(2)若，且，求a的取值范围．
.
2．当b≠0时，和为－(b+2)；当b=0时，和为－1．3．(1)(2)提示：知，中元素是方程实根，由得方程要么没有实根，要么实根是方程的根或，故的取值范围是．
设．
(1)属于的两个整数，其积仍属于(2)、、是否属于，请说明理由．
(1)设，则，，，
，，且，从而，即属于的两个整数，其积仍属于．
(2)．
假设，则存在整数，使，即，由于为偶数，注意到与具有相同的奇偶性，所以均为偶数，其乘积应是4的倍，但不是4的倍，导致矛盾，故假设不成立，即．
，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式．，通常用反证法．
对任意均中，而不中．满足：当时，有．给出如下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（）.
A．0 B．1 C．2 D．3
．
(1)如果，那么是否为的元素，请说明理由；
(2)当且时，证明：可表为两个有理数的平方和．
3．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，
．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
（II）对任何具有性质的集合，证明：；
（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．
D.
2．(1);(2)证略．
注：任意一个有理数均可表示成（其中为整数且）的形式．
3．（I）集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合和是，．
（II）证：由中元素构成的有序数对共有个当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即．
（III）：对于，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，．
设为集合的，，则称为集合的元“好集”．
(1)写出实数集的一个二元“好集”；(2)求出正整数集的所有三元“好集”(3)证明：不存在正整数集的元“好集”．(1)，，等．
(2)当时，，不妨设，则由可得，，，，注意到且，故，．因此，正整数集的三元“好集”；
(3)当时，不妨设中的最大元素为，则依题设条件，得
………………（※），
故
，
即有，则．又因为，所以有
，
即，但另一方面，
，
即，矛盾！也就是说，当时，满足条件的集合不存在．
必杀技充分利用所给条件
1．深刻理解概念并其中所给出条件；
2．．不漏是的一种情况．不存在正整数集的二元“好集”=的子集为的第个子集，其中，则
(1)是E的第个子集；(2)的第211个子集是．
，，当时，则实数的取值范围是．
，集合满足则与的关系为．
参考答案
1．(1)15;(2).
2．.提示：（对应地）也符合条件．
3．.提示：易得，且．现设任意，则，即有或．若但，则且，这与相违．同理可证得：若但，则仍与相违．总之，，从而，于是．
典型考法2集合中的图形
典型例题
设，，
，问是否存在实数，使得同时满足，且．
假设存在实数a，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n=m且na+b=3m2+15，消去m得na+b-(3n2+15)=0，又得，a2+b2≤144，由此可知点既在直线nx+y-(3n2+15)=0上又在圆x2+y2=144或其内部，即直线nx+y-(3n2+15)=0与圆x2+y2=144有公共点，因此，圆心到直线nx+y-(3n2+15)=0的距离小于或等于半径12，即，但，故不成立，即假设不成立，所以，不存在实数a，b使得同时满足，．
必杀技：充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系
本例首先将条件化简，使得相关元素的图形特征更明朗．本题也可从代数运算的角度求解，现介绍两种方法，读者可作对比．
另法：假设存在实数a，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n=m且na+b=3m2+15，消去m得na+b-(3n2+15)=0，即3n2-an-b+15=0，于是，它的判别式非负，即a2+12b-180≥0，由此得，12b-180≥；又得，a2+b2≤144，故≥≥，即12b-180≥，所以(b-6)2≤0，从而b=6，现将b=6代入中得a2≥108，再代入a2+b2≤144中得，a2≤10因此，只有a2=108，即a=，最后将a=及b=6代入方程3n2-an-(b-15)=0得，3n2n+9=0，即n2n+3=0，所以有．综上所述，不存在实数a，b使得同时满足，．
法：假设存在实数a，b使得同时满足与且，由得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n=m且na+b=3m2+15，即……(※)，又得，a2+b2≤144，将(※)代入a2+b2≤144，得
，将其看着关于的一元二次不等式，又，，，注意到，故，不等式
无实数解，即这样的实数不存在，综上所述，不存在实数a，b使得同时满足，．
1．设，，且与是方程的两个实根，，．2．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
3．设集合，集合，，是否存在，使得？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
1．.提示：借助于数轴分析得：，，．2．对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．：如图1-2-记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A赞成事件B的学生全体为集合B．设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50，解得x=21．3．.提示：与的图像（如图1-2-），的几何特征，易得，．
第二章不等式
考点综述
不等式是数学的重要内容，它渗透到了中学数学的很多章节，在实际问题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种工具．不等式的应用
典型考法1不等式的性质
典型例题
已知为实数，满足，，则在中().
A．B．C．D．，则可排除A；再取，则可排除B；假设均非负，则由得，均在[0，1]，但这与已知矛盾，故假设不成立，从而中至少有一个为负，即D错误，选C．
必杀技利用不等式的性质
不等式的性质在高考中经常以小题出现，它是证明不等式、解不等式的基础，与函数等知识紧密联系，应予以高度重视．
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则．
特别提醒：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．
已知实数满足且，则（）A．B．C．D．不确定
2．已知实数a，b满足等式下列五个关系式：0
③0
A．1个B．2个 C．3个 D．4个由不全相等的正数形成个数：，，，，关于这个数，下列说法正确的是（）
A．这个数都不大于2B．这个数都不小于2
C．至多有个数不小于2D．至多有个数不大于2
B.
2．B.提示：均大于零时，要满足等式，必有；均小于零时，要满足等式，必有；时，显然等式成立．因此不可能成立的关系式为．
D.
典型考法2比较大小
典型例题
设，，是的三边，则与的大小关系为．，，均为正数，且由已知得，，，，，，从而，
，
即，故．，，均为正数，且由已知得，，，，，，因此，
，
即，故．，，均为正数，且由已知得，，，
，
即，故．中，由余弦定理得，，，，故
，
即，所以，．，
在中，显然，，因此，可考虑函数，这里，
，
，
即，，又，并注意到函数的图像是开口向上的抛物线，知当时，，即，所以，因而．比较大小的常用方法：作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；作商（常用于分数指数幂的代数式）；分析法；平方法；分子（或分母）有理化；利用函数的单调性；寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法；图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．．
、、为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（）A．B．C．D．
(1)定义在上的函数满足．如果对任意不同的，都有，与的大小．
3．已知，则实数的大小关系为．
C。
2．.提示：不妨设，当时，；当时，由知，．3．.提示：，则，即，而与在上减，且，故，，这与矛盾，故．
设，且，则的值为．
(2)，则的为．
，，，，，又，有，
又，，．(2)因为，所以
，
当且，即时，取得最小值．1．，当且仅当时取等号．
2．常变形：(1)时取等号．
(2)，当且仅当时取等号．
3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立．对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立．要注意到“一正”“二定”“三相等”．
(1)，可得，解得或．
题(2)的另一方法：，，则，所以，，，解得，故的最小值为．
，则与的大小关系为．
2．若且，则的大小关系为．
已知均为实数，表示不超过实数的最大整数，若对任意恒成立，且（），则实数的最大值为．
.提示：令，，则，故由即得．实际上，本题还可进一步得到：若，则使不等式≥成立的的最大值为．提示：
方法一：由已知得．及，故
，
即．方法三：，故．
方法四：，m，n为的两根①，
2=m3+n3=a[a23b]，②
将②代入得，，故，即．.提示：注意到，原不等式对任意成立，，，．现考虑令，则，故，当，即，时，取“=”，从而有即实数的最大值为．
：原不等式等价于恒成立，取代入便得即，，即．
已知且，，均大于，求证：．
解析
，
即，同理可得，，将它们相加得
，
即
，
．
必杀技：掌握不等式证明的几种常用方法
(ⅰ)不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法(ⅱ)不等式证明方法较多，证法灵活，其中比较法、分析法、综合法是基本方法，要熟练掌握，其他方法作为辅助，这些方法之间不能截然分开，要综合运用各种方法有时要先对不等式作等价变形再进行证明(ⅲ)注意的灵活使用；同时要学会寻找证明的突破口，如例题中出现的的由来．事实上，由于，，的地位“平等”，即不等式的左边是一个对称式，我们可采取特殊化探路：先求等号成立的条件，当即
时，，然后再利用基本不等式变形加以证明．且，，均大于，求证：．
2．设，，分别为的三边长，求证：．
3．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．求证：(a+)(b+)≥．参考答案：
．提示：利用（）．提示：在中，、、均大于，有
即，同理可得及，将它们相乘得，注意到、、、、、均大于，故两边开方即得证．
注：本题可将这一条件去掉．即设，，均大于，则有不小于．
提示：可对，，的符号进行分类讨论．
．提示：方法一：欲证原式，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，注意到．
方法二：设a=+t1，b=+t2，t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜，，当且仅当即a=b=时，等号成立．：易得，故，从而有，即．
：令a=sin2α，b=cos2α，α(0，)，利用易得证．
考点2不等式的解法
典型考法1一元一次不等式(组)
典型例题
若不等式对满足的所有都成立，求x的范围．
本题将m视为自变量，即将原不等式化为：，令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是．分类讨论任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b的形式当a＞0时，解集为{x|x＞}；当a＜0时，解集为{x|x＜}当a0时，b的情况而定；
(2)对于含参问题要注意分类讨论．确定题中的主元，化归成初等函数求解此方法通常化为一次函数．
给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于或亦可合并定成；同理，若在内恒有，则有．
题的不等式中出现了两个变量：x、m，并且是给出了m的范围，要求x的相应范围．若直接从关于x的不等式正面出发求解较难，而把m看作自变量，x看成参变量，把m视为主元，利用函数的观点来解决上述问题即可转化为在区间[-2，2]内关于m的一次函数值小于0恒成立，求参变量x的范围的问题，进而化难为易，问题得以解决．
1．对于的一切值，是使恒成立的（）A．B．C．D．(1)不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
3．(2)若不等式m2+mx+1>2m+x对(2，2)内任意恒成立，则实数m的取值范围是．
1．C.
2．.提示：
方法一：设，则，于是问题等价于，解得．
方法二：由原不等式得，解之得，注意到该不等式对恒成立，故，，得取值范围是．
3．.提示：令，则对内任意实数恒成立，故或．
设为实常数，函数．
(1)当时，，试求实数的取值范围；
(2)当时，求在的最小值；当时，试写出的最小值．
(3)当时，不等式的解集．
(1)因为当时，，故，．
()当时，故在的最小值为．
当时，，
当时，.
综上，当时，(3)当时，由得，当时，；
当时，，得：讨论得：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为．．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）解，这体现了转化与化归的数学思想．
．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．
．一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型．一元二次不等式与相应的函数，方程联系．求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解集．一元二次方程，设，它的解按照，可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，
1．若关于的不等式有唯一实数解，则实数．．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，实数k的取值范围．．要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和中的一个，实数的取值范围．
1．或．．提示：设，令，，，．
另外，随书所附光盘对书中疑难问题配有高清讲解视频。
目录
第一章集合
考点1集合的概念及相应关系
典型考法1与含参数的方程有关的集合
典型考法1不等式的性质
典型考法２比较大小
典型考法３算术平均数与几何平均数
典型考法４不等式证明的常用方法
考点2不等式的解法
典型考法1一元一次不等式(组)
典型考法２一元二次不等式
典型考法3分式不等式
典型考法4绝对值不等式
典型考法5指数不等式与对数不等式
考点3不等式的应用
典型考法1相关最值及函数的值域
典型考法２方程的根的分布
典型考法３实际应用问题
第三章函数
考点1函数与反函数初步
典型考法1函数的概念
典型考法２符号的理解与应用
与n项和
典型考法2判断或证明数列是等差数列
典型考法3等差数列的基本性质
考点2等比数列
典型考法1等比数列的通项与前n项和
典型考法2判断或证明数列是等比数列
典型考法3等比数列的基本性质
考点3数列综合
典型考法1简单递推数列的通项公式
典型考法2数列的最大（小）项
典型考法３数列求和
典型考法4数列的应用
典型考法5数列与函数的交汇
典型考法6数列与圆锥曲线的交汇
典型考法7数列与方程的交汇
典型考法8数列与不等式的交汇
典型考法9数列中的恒成立问题
典型考法10数表与数阵
典型考法11数列中的研究性问题
第六章平面向量
考点1平面向量的基础
典型考法1考查向量的数量积
典型考法2判断三角形的形状
典型考法3向量与三角形的“心”
典型考法4向量与三角形的面积
典型考法5一个模型及应用
考点2平面向量与其它知识的整合
典型考法1平面向量与函数的合向量与数列的合向量与的合向量与的合函数的
1
图1-2-2
图1-2-
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