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角力中的平衡点:纳什均衡

2015-06-04  留送书屋

角力中的平衡点:纳什均衡

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2015-06-03 04:32:35 来源:北京日报 
约翰·纳什在讲演中。
角力中的平衡点:纳什均衡
约翰·纳什在讲演中。

  方弦

  万事皆为博弈

  博弈论翻译自英语的“game theory”,原意是“游戏的理论”。在某种意义上,可以说博弈论就是对于游戏的研究。“石头剪子布”可能是大家最熟悉的游戏。一般意义上的博弈也非常类似,其中有数位参与者,每人可以自由选择一定的行动,最后根据给定的规则判定每个人的得失。

  博弈的种类繁多,从简单的“石头剪子布”到复杂的象棋,都算是博弈。广义地说,社会上很多经济活动,小至选择商品和购买保险,大至公司并购和货币政策,都可以抽象为某种博弈。这就是经济学家对博弈论感兴趣的原因。

  但类似象棋这样的博弈,需要每个玩家反复做多次选择,研究的难度相当大。饭要一口一口吃,在博弈论发展的早期,数学家考虑的都是像“石头剪子布”那样,所有玩家都知道同样的信息,而每个玩家只需要同时做一次选择就能决出确定结果的博弈。在这种博弈中,玩家有多种策略的选择。比如一直出石头,或者各以三分之一的概率选择三种手势,这都是可行的策略。

  数学家希望能计算每个博弈中收益最大化的最优策略。因为我们事先并不知道对手的策略,所以希望找到一个即使在最坏情况下仍然能够最大化收益的策略。形象地说,就是“做最好的准备,做最坏的打算”。但这种最优策略是否存在呢?博弈论的开山祖师、数学家冯·诺伊曼证明了,对于所谓的“零和博弈”,也就是一方的胜利相当于另一方的失败的游戏,这种最优策略必定存在。我们平时玩的游戏都是零和博弈。

  但这毕竟不是一个你死我活的世界,虽然一方的得益常常意味着另一方的损失,但双赢的局面也能存在。冯·诺伊曼的定理无法处理各方收益总和不为零的情况,在这种“非零和博弈”下,因为双方的收益没有联系,所以最优策略不总是存在。那么,在这类博弈中,应该如何选择策略呢?

  妥协才能共赢

  举例来说,假设你很喜欢粤菜,而你的朋友喜欢西餐。今天晚上你们打算出去就餐。如果分开吃的话,两人都会觉得独自用餐索然无味。如果一起吃粤菜,两位会高兴,但你会更高兴一些;如果吃的是西餐,则是你的朋友更高兴。现在两人分别从家里出发,应该选择什么策略呢?

  这是一个典型的非零和博弈。在这场博弈中,最好的情况当然是两人一起用餐。但如果我们用零和游戏中最优策略的方法分析的话,每个人应该采取的策略显然是去吃自己喜爱的餐点,这种“最优策略”带来的结局却是最糟糕的。矛盾在于,在零和游戏中,因为玩家的收益就是对方的损失,所以玩家清楚对方的目的就是减少玩家本人的收益。但现在双方的得失并不矛盾,玩家无法得悉对方的想法,之前的“最优策略”自然无效。我们需要一个更好的概念来涵括对方的想法。

  假设我们知道对方希望采取的策略,比如说你朋友希望迁就你吃粤菜,那么,你最好的选择当然是吃粤菜。我们将这种情况记作(粤菜,粤菜),前者是你采取的策略,后者是对手采取的策略。在这种情况下,每个人都没有动力改变自己的策略,包括你朋友,即使他比较喜欢吃西餐,但在你不改变策略的前提下,他如果决定吃西餐也只能一个人吃,还不如跟你一起吃没那么喜欢的中餐。这种情况就是这个博弈的一个纳什均衡。

  更一般地说,在某个博弈中,假设每位玩家都已经选定了自己的策略,并且每个人都知道各自的策略。这时,如果每位玩家在别人不会改变策略的假设下,即使改变自己的策略,也不会带来更高的收益,那么这种情况就称为一个纳什均衡。纳什均衡是一个神奇的稳定点。在一切不是纳什均衡的情况中,都会有玩家希望改变策略来打破现况。而在纳什均衡中,每位玩家的策略都是当前情况下的最优策略,他们都没有动力改变自己的策略,博弈于是达到了平衡点。

  一个博弈可能有不止一个纳什均衡。在之前你与朋友的博弈中就有两个纳什均衡点,(粤菜,粤菜)和(西餐,西餐)。这时,如何选择均衡点呢?如果你的朋友对西餐非常执着的话,他可能会以一些代价(比如说送你两罐啤酒)来换取你同意去吃西餐,而你也可以跟他讨价还价,比如除了啤酒还跟他要点花生。在拥有多个纳什均衡的博弈中,双方如何通过协商选取某个均衡的问题,就叫讨价还价问题。纳什同样解决了这个问题。

  纳什提出“纳什均衡”概念时,刚刚开始在普林斯顿大学攻读博士。他同时证明了每个博弈都存在至少一个纳什均衡。他将博弈论作为博士论文题目,以这些研究为基础,在一年半内就完成了博士学业,这无论在什么时代都是极高的速度,也能说明纳什的天才之处。

  制度引导均衡

  因为纳什均衡的概念能延伸到非零和博弈上,而现实生活中的博弈往往是非零和的,所以纳什均衡在经济学上有着更重要的意义。

  纳什均衡能够用于解释很多经济现象,比如“公地悲剧”,也就是公共物品往往会被无节制地使用殆尽的现象。比如污染的河水和由于放牧而沙漠化的草地,这往往是公地悲剧的体现。如果某项公共资源的使用所导致的代价会平均分摊到每个人头上,那么在这个博弈中,无论在哪一个纳什均衡点上,公共资源都会被过度消耗,每个人的收益反而不如对资源有节制的使用。空气污染、全球暖化、人口问题,这些都是公地悲剧的体现。

  但除了解释以外,纳什均衡也能用作解决问题的参考工具。通过不同的经济手段改变博弈中每个人的收益,就可以将均衡点引导到对所有人更加有利的情况。比如在公地悲剧中,如果按照每个人消耗的资源来征收费用,再用这些收入帮助公共资源的恢复,这就相当于将使用资源的代价从平摊变成与使用量挂钩,均衡点就会改变,人们的最佳策略不再是竭泽而渔,而是按需取用。通过对纳什均衡的研究,我们能设计出更好的制度,保证即使是自私的每个人,在均衡点的引导之下,都能作出有益于社会福祉的行动。

  除此之外,纳什均衡在经济学上还有许多应用。在各种投标与拍卖中,拍卖一方希望以尽可能高的价格将商品拍卖出去,而竞拍一方往往有多位参与者,他们希望能以尽量低的价格拍得商品,而双方都不知道各自的底牌,只能通过叫价来相互试探。这时,如何设计拍卖的规则,使得拍卖能高效完成而双方的收益都最大,这就是所谓“拍卖理论”研究的问题。拍卖可以很复杂,比如说对各地电视频道的拍卖,竞拍一方可能需要获得多个地区相同频道,才能获得相当的收益。但利用纳什均衡,即使对于复杂的拍卖,很多时候我们仍能设计出对应的拍卖机制,保证拍卖的成功。

  但也有一些经济现象不能用纳什均衡来解释,比如说银行挤兑。这是因为在建立模型时,我们假定人们是无限理性的,只会以最优的策略最大化自己的收益,这是对现实的简化,实际上人们的行为要复杂得多,不一定总是理性的。人们在实际生活中的选择往往与纳什均衡很接近,但有时也会有一定的偏差。对这种偏差的研究,是目前行为经济学的研究方向之一,可以视为对以纳什均衡为代表的传统博弈论的一种良好补充。

  虽然纳什教授不幸逝世,但他提出的纳什均衡已经深入博弈论与经济学研究的核心。后来者仍会沿着他开创的道路前行。所谓科学,就是来自这样的日积月累与前赴后继。

  (作者为巴黎第七大学组合数学博士生)

  新闻背景

  不久前,电影《美丽心灵》的原型、1994年诺贝尔经济学奖获得者、数学家约翰·纳什与他的妻子在车祸中不幸去世,引发了世人的普遍关切。

  纳什当年获诺奖的颁奖词中写道:“纳什发展了一种非合作博弈上的均衡概念,后来它被称为纳什均衡。”那么,什么是博弈?什么是均衡?这些与经济学又有什么关系?

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