滇南王：市场哲学的数学原理15：线段及其性质

上节说了笔，那么接下来自然就是线段了，所谓的线段，就是至少由三笔组成。线段至少由三笔组成，无非有两种：从向上一笔开始的和从向下一笔开始的。图1，就是线段的最基本形态，而图2，就是线段破坏的基本形式，也就是两线段组合的其中一种形态。

 

 

对于任何一段线段，用di代表第i个底分型的底，gi代表第i个顶分型的顶。那么，对于从向上一笔开始的，其中的分型构成这样的序列：d1g1d2g2d3g3…dngn。如果找到i和j，j>=i 2,使得dj<=gi,那么称向上线段被笔破坏。对于从向下一笔开始的，其中的分型构成这样的序列：g1d1g2d2…gndn。如果找到i和j，j>=i 2,使得gj>=di,那么称向下线段被笔破坏。（注意：笔破坏不等于线段破坏！）

由上面线段被笔破坏的定义可以证明线段分解定理：线段被破坏，当且仅当至少被有重叠部分的连续三笔的其中一笔破坏。而只要构成有重叠部分的前三笔，那么必然会形成一线段，换言之，线段破坏的充要条件，就是被另一个线段破坏。

线段具有以下性质：

首先，线段的最基本性质，就是线段必须至少有三笔，这是十分显然的，否则，一笔都能构成线段，那笔和线段又有什么区别？至于两笔为什么不能构成线段，这理由更简单，因为两笔，那么线段的两端的分型的性质肯定是一样的，要么都是顶分型，要么都是底分型，和笔一样，一个完整线段的两端的分型不可能是同性质的。也就是说，和笔一样，线段也不可能从一个顶开始结束于一个顶，或者从一个底开始结束于一个底。由此可见，线段中包含笔的数目，都是单数的。

第二，线段和笔一样，都是有方向的，从顶开始的笔一定结束在底，同样，以向上笔开始的线段一定结束于向上笔，不可能一个线段，开始是向上笔，结束于一个向下笔。同样，正如同一笔不可能出现顶低于底的情况，同一线段中，两端的一顶一底，顶肯定要高于底，如果你找出一个不符合这基本要求的线段，那肯定是错了。

第三，线段开始的那三笔，必须有重合，开始三笔没有重合的，是构不成线段的。比如一个“上下上”三笔中，“下”的那笔特别长，使得两个“上”没有重合部分，就不能构成线段。这一点实际和上一点是相通的。

第四，线段必须被线段所破坏才能确定其完成。在线段被笔破坏时，如果第一笔出现笔破坏后，接着的一笔就创新高，而且再后一笔，根本就不触及笔破坏那一笔，那么，这时候，显然构成不了线段对线段的破坏，因为后面这这三笔没有重合，不可能构成一线段。

第五，线段被线段破坏，必须不能是被同一性质的线段所破坏，也就是从向上一笔开始的线段不可能被向上一笔的线段所破坏，必然是被从向下一笔开始的线段所破坏。

 

作者：遂意缠学