专题十四解决圆锥曲线与方程问题
【典题导引】
例1.已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,点分别在椭圆和上,,求直线的方程.
(1)由已知可设椭圆的方程为,其离心率为,故,解得.故椭圆的方程为(2)两点的坐标分别记为,由及(1)知,三点共线且点不在轴上,因此可设直线的方程为.
将代入中,得,所以.
将代入中,得,所以.
又由,得,,解得.
故直线的方程为或.例2.(2012安徽)如图,、分别是椭圆的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.
(1)求椭圆的离心率;
(2)已知的面积为,求的值.(1)由题意可知,为等边三角形,,所以.
(2)方法一,,直线的方程为,
将其代入椭圆方程,得,.
由,解得,.
方法二设.因为,所以.由椭圆定义可知,,再由余弦定理可得,.
由知,,.
例3.(2014江苏)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连结并延长交椭圆于点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,连结.
(1)若点的坐标为,且,求椭圆的方程;
(2)若,求椭圆离心率的值.
(1),,,椭圆方程为(2)设焦点关于x轴对称,三点共线,,即①
,,即②
①②联立方程组,解得,
C在椭圆上,,
化简得,,故离心率为例4.(2013课标全国Ⅱ)平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值.解(1)设,则,
①-②,得.
因为,设,因为为的中点,且的斜率为,
所以,即.
所以可以解得,即,即,
又因为,所以,所以椭圆的方程为(2)因为,直线方程为,所以设直线方程为,
将代入得:,即,
所以可得;
将代入得:,
设,则,
又因为,即,
所以当时,取得最大值,所以四边形面积的最大值为.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础.因此,对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求,双曲线的定义中要求.求椭圆或双曲线的离心率的方法:
①直接求出和,代入;
例3图
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