绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）
本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。在试题卷、草稿纸无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。在试题卷、草稿纸无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑答题卡上对应的答题区域内在试题卷、草稿纸上效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
．的共轭复数为
A．B．C．D．2．我国古代数学名著《数书》有米谷粒分题：粮开仓收粮，有人送来米1534石，谷，抽样取米一把254粒内谷28粒，则这批米内谷约为
A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相，则奇数项的二项式系数和为A．B．C．D．4．，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．B．C．，
D．，
5．设，.若p：成等比数列，则
A．．．．6．符号函数是增函数，
A．B．C．D．7．上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则
A． B．
C． D．
8．将离心率为双曲线的实半轴长和虚半轴长增加长度，得到离心率为双曲线，则A．， B．当时，；当时，C．， D．当时，；当时，．，，定义集合
，则中元素的个数为
A．B．C．D．10．，表示不超过的最大整数.若存在实数，使得，，…，
同时成立，则正整数的最大值是
A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（11—14题）
11．，，则．
12．的零点个数为13．如图，处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则m.
14．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点且．
（Ⅰ）圆的方程为；
（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于；②；③．（）选题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请在答题卡指定位置将你所选的题目序号用2B铅笔涂黑．如果全，则按第15题作答结果计分．）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线且，则16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xy中以为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知，曲线(t为参数)相交于B两点则三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分1分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
0 0 5 0 （Ⅰ）请将上表数据，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图
象.若图象的一个对称中心为，求的最小值.
18．（本小题满分12分）
设等差数列的公差为d，前n项和为等比数列的公比为q．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）时，记，数列的前n项和．19．（本小题满分12分）
如图在中，底面，，的中点作交于点
（）．试判断四面体鳖臑；（）面所成二面角的大小为，
求的值．20．（本小题满分12分）
两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（）的分布列和均值；
（）21．（本小题满分1分）
是滑槽的中点，短杆ON可绕转动，通过处铰链与连接，上的可沿，，．当绕处的笔尖画出为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线
总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若
存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知的各项均为正数，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此的，并给证明；
（Ⅲ），数列，的前项和分别记为,,证明：.
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数学（类）试题参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分
1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．B8．D9．C10．B
二、填空题本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分11．9 12．213．
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③15． 16．
三、解答题本大题共6小题，共75分17．（Ⅰ）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：
0 0 5 0 0 且函数表达式为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得.
的对称中心为，.
令，解得，.
由于函数的图象关于点成中心对称，，
解得，.可知，当时，取得最小值.18．（Ⅰ）由题意有，即
解得或故或（Ⅱ）由，知，，，，.②
①-②可得
，
故.
19．（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以，为长方形，有，而，
所以.而，所以.
又因为，点是的中点，所以.
而，所以.而，所以.
又，，所以.
由平面，平面，可知四面体四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线.由（Ⅰ）知，，所以.
又因为底面，所以.而，所以.
故是面与面所成二面角的平面角设，，,得,
则,解得.所以面所成二面角的大小为时，.
（解法2）（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，则，，点是的中点，所以，，
于是，即.
又已知，而，所以.
,,则,所以.
由平面，平面，可知四面体即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.
（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；
由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量.面与面所成二面角的大小为，则，
解得.所以面所成二面角的大小为时，.
20．（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有
（1）
目标函数为．
当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．
故最大获利的分布列为
8160 10200 10800 0.3 0.5 0.2 因此，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
21．（Ⅰ）设点，，依题意，
，且，
所以，且
即且
由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，
于是，故，代入，可得，
即所求的曲线的方程为
的斜率不存在时，直线为或，都有.
（2）当直线的斜率存在时，设直线，
由消去，可得.
因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即.①
又由可得；同理可得.
由原点到直线的距离为和，可得
.②
将①代入②得，.
当时，；
当时，.
因，则，，所以，
当且仅当时取等号.
所以当时，的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
22．（Ⅰ）的定义域为，.
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，，即.
令，得，即.①（Ⅱ）；；
②
下面用数学归纳法证明②（1）当时，左边右边，②成立.
（2）假设当时，②成立，即.
时，，由归纳假设可得
.
时，②成立.
（1）（2），可知②对一切正整数n成立.（Ⅲ）由的定义②，算术-几何平均不等式，的定义及①得
.即.
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第4题图
第13题图
第14题图
x
O
y
T
C
N
A
M
B
第15题图
第19题图
x
D
O
M
N
y
第题图
第题图
第19题解答图2
第19题解答图1
第20题解答图1
第20题解答图2
第20题解答图3
第21题解答图
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