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数学重点、难点归纳辅导
第一部分
第一章集合与映射§1.集合
§2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数
的一些基本性质。
第二章数列极限§1.实数系的连续性
§2.数列极限§3.无穷大量
§4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有
连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限与连续函数§1.函数极限
§2.连续函数§3.无穷小量与无穷大量的阶
§4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的
估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分§1.微分和导数
§2.导数的意义和性质§3.导数四则运算和反函数求导法则
§4.复合函数求导法则及其应用§5.高阶导数和高阶微分
本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章微分中值定理及其应用§1.微分中值定理
§2.L＇Hospital法则§3.插值多项式和Taylor公式
§4.函数的Taylor公式及其应用§5.应用举例
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§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运
用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章不定积分§1.不定积分的概念和运算法则
§2.换元积分法和分部积分法§3.有理函数的不定积分及其应用
本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
第七章定积分（§1—§3）§1.定积分的概念和可积条件
§2.定积分的基本性质§3.微积分基本定理
第七章定积分（§4—§6）§4.定积分在几何中的应用
§5.微积分实际应用举例§6.定积分的数值计算
本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计
算。
第八章反常积分§1.反常积分的概念和计算
§2.反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计
算。
第九章数项级数§1.数项级数的收敛性
§2.上级限与下极限§3.正项级数
§4.任意项级数§5.无穷乘积
本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。
第十章函数项级数§1.函数项级数的一致收敛性
§2.一致收敛级数的判别与性质§3.幂级数
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§4.函数的幂级数展开§5.用多项式逼近连续函数
本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开
的重要应用。
第十一章Euclid空间上的极限和连续§1.Euclid空间上的基本定理
§2.多元连续函数§3.连续函数的性质
本章教学要求：了解Euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。
第十二章多元函数的微分学（§1—§5）§1.偏导数与全微分
§2.多元复合函数的求导法则§3.Taylor公式
§4.隐函数§5.偏导数在几何中的应用
第十二章多元函数的微分学（§6—§7）§6.无条件极值
§7.条件极值问题与Lagrange乘数法本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区
别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。
第十三章重积分§1.有界闭区域上的重积分
§2.重积分的性质与计算§3.重积分的变量代换
§4.反常重积分§5.微分形式
本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。
第十四章曲线积分与曲面积分§1.第一类曲线积分与第一类曲面积分
§2.第二类曲线积分与第二类曲面积分§3.Green公式，Gauss公式和Stokes公式
§4.微分形式的外微分§5.场论初步
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本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green公式，Gauss公式和Stokes公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出Green公式，Gauss公式和Stokes
公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。
第十五章含参变量积分§1.含参变量的常义积分
§2.含参变量的反常积分§3.Euler积分
本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler
积分的计算。
第十六章Fourier级数§1.函数的Fourier级数展开
§2.Fourier级数的收敛判别法§3.Fourier级数的性质
§4.Fourier变换和Fourier积分§5.快速Fourier变换
本章教学要求：掌握周期函数的Fourier级数展开方法，掌握Fourier级数的收敛判别法与Fourier级数的性质，对Fourier变换与Fourier积分有一个初步的了解。
试题一、解答下列各题
1、求极限limtantansinln().xxx→??2212、.d)1(3xeexx∫+求
3、求极限．lim...xxxxxx→∞+++++100101010010001232
4、．，求设ytdtxyx′=∫3022sin
5、设，；，求，其中．fxxxxxxxfafaa()()()=?+≤?>
?????++?>221121110
6、求极限．－limlnxxx→?1
21
7、设，求yxxy=++′()ln()3131
8、．求dxxx∫?2
1
02
31
9、设，求．yxxedyxx()=?=321
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10、求由方程常数确定的隐函数的微分．xyaayyxdy
2323230+=>=()()
11、
设由和所确定试求．yyxxsysdy
dx
==+=?()()(),11212212
12、设由方程所确定求yyxyeyxyx==′+(),13、若证明xxxx>++>01222,ln()
14、．求∫+1614xxdx
15、．求∫?2124xxdx
16、.)1)(1(d2∫++xxx求二、解答下列各题
1、?,,20,问其高应为多少要使其体积最大其母线长要做一个圆锥形漏斗cm2、求曲线与所围成的平面图形的面积yxyx=?=22.
3、[]求曲线和在上所围成的平面图形的面积yxyx==2301,.三、解答下列各题
证明方程在区间，内至少有一个实根．xx57412?=()四、解答下列各题[)
判定曲线在，上的凹凸性yxx=++∞()30
第二部分
（1）课程名称：微分几何（2）基本内容：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：
曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet标架与Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，
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如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定
理与Fary-Milnor定理。曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可
展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲
率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的
平行移动。基本要求：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微
分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
二、讲授纲要第一章三维欧氏空间的曲线论
§1曲线曲线的切向量弧长教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲
线。§2主法向量与从法向量曲率与扰率
教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。
§3Frenet标架Frenet公式教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。
§4曲线在一点邻近的性质教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。
§5曲线论基本定理教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。
§6平面曲线的一些整体性质6．1关于闭曲线的一些概念
6．2切线的旋转指标定理6．3凸曲线
6．4等周不等式6．5四顶点定理
6．6Cauchy-Crofton公式教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲
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率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简单闭曲线切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与
Cauchy-Crofton公式。§7空间曲线的整体性质
7．1球面的Crofton公式7．2Fenchel定理
7．3Fary-Milnor定理教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton公
式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何
§1曲面的表示切向量法向量1．1曲面的定义
1．2切向量切平面1．3法向量
1．4曲面的参数表示1．5例
1．6单参数曲面族平面族的包络面可展曲面教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面
与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。§2曲面的第一、第二基本形式
2．1曲面的第一基本形式2．2曲面的正交参数曲线网
2．3等距对应曲面的内蕴几何2．4共形对应
2．5曲面的第二基本形式教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量——曲面上曲线的弧长、两相交曲线的
交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握第二基本形式。
§3曲面上的活动标架曲面的基本公式3．1省略和式记号的约定
3．2曲面上的活动标架曲面的基本公式3．3Weingarten变换W
3．4曲面的共轭方向渐近方向渐近线教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系
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数；理解Weingarten变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。
§4曲面上的曲率4．1曲面上曲线的法曲率
4．2主方向主曲率4．3Dupin标线
4．4曲率线4．5主曲率及曲率线的计算总曲率平均曲率
4．6曲率线网4．7曲面在一点的邻近处的形状
4．8GaussGGG映照及第三基本形式4．9总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面
教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能对全脐曲
面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小曲面。
§5曲面的基本方程及曲面论的基本定理5．1曲面的基本方程
5．2曲面论的基本定理教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。
§6测地曲率测地线6．1测地曲率向量测地曲率
6．2计算测地曲率的Liouville公式6．3测地线
6．4法坐标系测地极坐标系测地坐标系6．5应用
6．6测地扰率6．7Gauss-BonnetGGG公式
教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville公式计算测地曲率与测地
线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。
§7曲面上的向量的平行移动7．1向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分
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7．2绝对微分的性质7．3自平行曲线
7．4向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示7．5沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系
教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。
习题：1.证明推论2.3.1，
2.设X，Y为Banach空间，Xbatx→],[:)(是连续抽象函数,对有界线性算子YXT→:，
证明：Tx在],[ba上R－可积，并且∫∫=babadttxTdttTx)()(。
3.设],[baC到],[baC中的算子T由∫+=tadssxstTx22)]()[1())((给出，T在任一元素x处
是否F－可导？若答案肯定，求导算子)(xT′。
4.设f是nR到R中的一个1C映射。证明：f在nRx∈0处沿方向nRh∈的G－微分
);(0hxdf等于gradf(x0)hT,
这里gradf=（nxfxfxfxf????????L,,,321）,;),,(21nhhhhL=
在nnexxxxxxxxf132131),;(?+++=LL和),1,0,,0,0,3,2,1(L=h
)1,2,3,,1,(0L?=nnx的情况下计算);(0hxdf，又问：f在nRx∈处的F－导数是什么？
当nnxxxxxf++++=L33221)(时求)(xf′。
5.设32:RRT→由)54,3,(),(222yxyxyyxyxT++?=定义，求T在（－1，2）处沿方向（1，－1）的G－微分。
解：写????????????++?=????????yxyxyyxyxT543222，知??????????+?=????????′5432222xyyyxyxT，故所求G－微分为
????
?
????
?
?=?????????????
?
????
????=??????????????????′
15
211
5414
421121T。
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6.设X、Y是赋范线性空间，T：YX→由XxyAxTx∈?+=,0定义，其
Yy∈0，∈AB(X,Y)，证明T在Xx∈?处F—可微，且求其F—导算子。解：
oooyAhAxyAxyhxAxThxTXhXx++=+?++=?+∈?∈?)()()()(,,
θ+=??AhyAxo，由于∈AB(X,Y)，且Thh),0(,001→→=?θ在x处是F—可微的，
且AxT=′)(。
7.设23:RRT→由()3222),,(,)2,23(),,RzyxRxzyyxzyxT∈?∈+?=确定，求T在（1，2，－1）处的F—导数。
解：采用列向量表示，T将????????zyx变换成??????+?xzyyx22322，故T在????????zyx处的F—导数应是变换
T的Jacobi矩阵?????????xyzx222026，在)1,2,1(),,(?=zyx处，此矩阵为??????????242026，在
列向量表示下，T在（1，2，－1）处的F—导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：
,,2420263
3
2
1
3
2
1
3
2
1R
hh
h
hh
h
hh
h∈
????
?
????
??
????
?
????
???????????
????
?
????
?a右端即2
3212124226Rhhhhh∈??????++??故T在（1，2，－
1）处的F—导数就是将),,(321hhh?变换为)242,26(32121hhhhh++??的线性变换。
［备注1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。］
［备注2：当23:RRT→表示为3222,223RzyxRxzyyxzyxT∈?????????∈??????+?=????????，我们可得T在????????zyx
处的F—导数是：
?????????=????????????????′xyzxzyxT222026，即3321321321,222026RhhhhhhxyzxhhhzyxT∈??????????????????????????=????????????????????????′，
故=?????????????????????????′321121hhhT332132121,24226Rhhhhhhhh∈???????????????++??
或??????????=?????????????????′242026121T，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表示。］
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第三部分
1.高等代数基本定理设K为数域。以][xK表示系数在K上的以x为变元的一元多项式的全体。如果
)0(],[......)(0110≠∈+++=?axKaxaxaxfnnn，则称n为)(xf的次数，记为)(degxf。
定理（高等代数基本定理）C][x的任一元素在C中必有零点。
命题设)10(,......)(0110≥≠+++=?naaxaxaxfnnn，是C上一个n次多项式，a是
一个复数。则存在C上首项系数为0a的1?n次多项式)(xq，使得
)())(()(afaxxqxf+?=证明对n作数学归纳法。
推论0x为)(xf的零点，当且仅当)(0xx?为)(xf的因式（其中1)(deg≥xf）。
命题（高等代数基本定理的等价命题）设nnnaxaxaxf+++=?......)(110
)10(0≥≠na，为C上的n次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n个复数
naaa,......,,21，使))......()(()(
210nxxxaxfααα???=证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对n作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式定义设K是一个数域，x是一个未知量，则等式
0......1110=++++??nnnnaxaxaxa（1）
（其中0,,......,,010≠∈aKaaan）称为数域K上的一个n次代数方程；如果以Kx∈=α带入（1）式后使它变成等式，则称α为方程（1）在K中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域K上的)1(≥n次代数方程在复数域C内必有一个根。
命题n次代数方程在复数域C内有且恰有n个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
)0(......)(10≠+++=nnnaxaxaaxf，
)0(......)(10≠+++=mmmbxbxbbxg，
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如果存在整整数l,nlml≥≥,,及1+l个不同的复数121,,......,,+llββββ，使得
)1,......,2,1()()(+==ligfiiββ，
则)()(xgxf=。1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设101()nnnfxaxaxa?=+++L，其中0,0iaKa∈≠。设()0fx=的复根为
12,,,nαααL（可能有重复），则
1210
11212
1()()()()()
().
nin
inn
nn
fxxxxxaxxαααααααααα=
?
=?=???=?+++++∏LLLL
所以
)()1(21101naaααα+++?=L；
∑≤≤≤?=niiiiaa21210202)1(αα；LLLLLLLL
.)1(210nnnaaαααL?=
我们记1),,,(
210=nααασL；
nnαααααασ+++=LL21211),,,(；LLLLLLLL
∏≤≤≤≤≤=niiiiiinrrrLLL2121021),,,(αααααασ；LLLLLLLL
nnnαααααασLL2121),,,(=
（12,,,nσσσL称为12,,,nαααL的初等对称多项式）。于是有
定理2.5(韦达定理)设101()nnnfxaxaxa?=+++L，其中0,0iaKa∈≠。设()0fx=
的复根为12,,,nαααL。则
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),,,()1(211101naaααασL?=；
),,,()1(212202naaααασL?=；LLLLLLLL
).,,,()1(210nnnnaaααασL?=
命题给定R上n次方程0......
1110=++++??nnnnaxaxaxa，00≠a，如果ba+=αi是方程的一个根，则共轭复数ba?=αi也是方程的根。
证明由已知，
1011......0nnnnaaaaααα??++++=.
两边取复共轭，又由于∈naaa,......,,10R，所以
1011......0nnnnaaaaααα??++++=.
高等代数试题
设VVL∈∈ξσ),(，并且α，)(ασ，…，)(1ασ?k都不等于零，但0)(=ασk，证明：α，
)(ασ，…，)(1ασ?k线性无关
答案：按线性无关的定义证明2、令][xF
n表示一切次数不大于n的多项式连同零多项式所成的向量空间，)()(:
''xfxfaσ，求σ关于以下两个基的矩阵：
（1）1，x，2x，…，nx，
（2）1，cx?，!2)(2cx?，…，!)(ncxn?，Fc∈
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答：（1）
???
???
?
?
???
???
?
?
0000000
02000010
LL
LLLLLL
L
n（2）????
??
?
?
???
???
?
?
00001000
01000010
LL
LLLLLL
L
3、4F表示数域F上四元列空间取
???
?
?
?
???
?
?
?
??
???=
79311813
32111511A对于4F∈ξ，令ξξσA=)(
求))dim(ker(σ，))dim(Im(σ
解：2)(=AR，取4F的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵AB的列向量恰是这
个基的象。又0B≠，所以2AR)AB(R）＝（＝所以2))dim(Im(＝σ
2)(4))dim(ker(=?==AR解空间的秩σ
4、设F上三维向量空间的线性变换σ关于基{}321,,ααα的矩阵是
????
?
????
?
??
?
67881520
51115，求σ关于基
3213
3212
3211
2243
32
αααβαααβ
αααβ
++=++=
++=的矩阵
????
?
????
?==?
32
11ATTB
????
?
????
?=
211243
132T
5、令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件，证明：（1）{}V∈?=ξξσξσ)()ker(
（2）)Im()ker(σσ⊕=V
证明：（1）{}V∈?∈?ξξσξα)(，则
0)()()()())(()(2=?=?=?=ξσξσξσξσξσξσασ，)(σαKer∈
反之，)(σβKer∈，0)(=βσ，{}V∈?∈?=ξξσξβσββ)()(
于是{}V∈?=ξξσξσ)()ker(
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)()(,ξσξσξαα+?=∈?V，即)Im()ker(σσ+=V
设)Im()ker(σσβ∩∈由)Im(σβ∈，有V∈ν，使得
）（）＝（，所以＝因βσνσσσβσνσβνσ22),()(,)(==又)ker(σβ∈，所以
00）＝（，于是）＝（νσβσ，即0＝β所以0)Im()ker(＝σσ∩
6、设??????????????=163053064A，求10A
解：特征值21321?＝，＝＝λλλ
特征向量T），，＝（1001ξT），，＝（0122?ξ，T），，＝（1113?ξ
），，＝（321ξξξP则，Λ=?APP111010?Λ=PPA
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