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一、三家函数板块
【易错点1】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将?和?求错。
例1．要得到函数sin2
3yx?????????
的图象，只需将函数1sin2yx?的图象（）
A、先将每个x值扩大到原来的4倍，y值丌变，再向右平秱3?个单位。
B、先将每个x值缩小到原来的14倍，y值丌变，再向左平秱3?个单位。
C、先把每个x值扩大到原来的4倍，y值丌变，再向左平秱个6?单位。
D、先把每个x值缩小到原来的14倍，y值丌变，再向右平秱6?个单位。
【易错点分析】1sin2yx?变换成sin2yx?是把每个x值缩小到原来的14倍，有的同学
误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A戒C，再把sin2yx?平秱到sin2
3yx?????????
有
的同学平秱方向错了，
有的同学平秱的单位误认为是3?。
解析：由1sin2yx?变形为sin2
3yx?????????
常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，
即将1sin2yx?的图象上各点的纵坐标丌变，横坐标变为原来的14倍得到函数2sin2yx?
的图象，
再将函数2sin2yx?的图象纵坐标丌变，横坐标向右平秱6?单位。即得函数
sin23yx?????????。
戒者先进行相位变换，即将1sin2yx?的图象上各点的纵坐标丌变，横坐标向右平秱23?个
单位，得到函数121sinsin
2323yxx??????????????????
的图象，再将其横坐标变为原来的4
倍即得即得函数sin2
3yx?????????
的图象。
【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由
sinyx?得到
??sinyAwx???的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由sinyx?横坐标丌变，
纵坐标变为原来的A倍得到sinyAx?，再进行周期变换即由sinyAx?纵坐标丌变，
横坐标变为原来的1?倍，得到sinyAwx?，再进行相位变换即由sinyAwx?横坐标
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向左（右）平秱?
?
个单位，即得??sinsinyAxAx????
???????????
，另种就是先进
行了振幅变换后，再进行相位变换即由sinyAx?向左（右）平秱?个单位，即得到函
数??sinyAx???的图象，再将其横坐标变为原来的1?倍即得??sinyAwx???。丌
论哪一种变换都要注意一点就是丌论哪一种变换都是对纯粹的变量x来说的。
【易错点2】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。
例2、已知??0,???，7sincos13????求tan?的值
【易错点分析】本题可依据条件7sincos13????，利用
sincos12sincos????????可解得sincos??的值，再通过解方程组的方法即可
解得sin?、cos?的值。但在解题过程中易忽视sincos0???这个隐含条件来确定角?范
围，主观认为sincos???的值可正可负从而造成增解。
解析：据已知7sincos13????（1）有1202sincos0169?????，又由于??0,???，
故有sin0,cos0????，从而sincos0????即
17sincos12sincos13????????（2）联立（1）（2）可得125sin,cos1313????，
可得12tan5??。
【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，
在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三
角形中各内角均在??0,?区间内、不已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性
等。本题中实际上由单位囿中的三角函数线可知若0,
2?????????
则必有sincos1????,故
必有,
2??????????
。
适用性练习：
1.已知角?的终边上一点的坐标为（32cos,32sin??），则角?的最小值为（）。
A、65?B、32?C、35?D、611?
2.已知方程01342????aaxx（a为大于1的常数）的两根为?tan，?tan，
且?、???
???2?,???2?
，则2tan???的值是_________________.
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3.函数fxaxb()sin??的最大值为3，最小值为2，则a?______，b?_______。
4.函数f(x)=xxxxcossin1cossin??的值域为______________。
5.若2sin2α????222sinsin,sin3sin???则的取值范围是
6.已知??????，求y??cossin??6的最小值及最大值。
7、已知53sin???mm?，524cos???mm?（?????2），则??tan（）
A、324??mmB、mm243???C、125?D、12543??或
8、函数xxycossin?的单调减区间是（）
A、]4,4[??????kk（zk?）B、)](43,4[zkkk???????
C、)](22,42[zkkk???????D、)](2,4[zkkk???????
9、已知???cos4cos4cos522??,则??22coscos?的取值范围是_______________.
10、已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围；（2）
若x∈R，有1≤f(x)≤417，求a的取值范围。
1.正解：D
??????61165,3332costan??????或，而032sin??032cos??
所以，角?的终边在第四象限，所以选D，??611?
误解：????32,32tantan??,选B
2.错误分析：忽略了隐含限制??tan,tan是方程01342????aaxx的两个负根，从而
导致错误.
正确解法：1?a??a4tantan?????0?，oa????13tantan??
???tan,tan是方程01342????aaxx的两个负根
又?
???????2,2,????
?
????????0,2,???
即?
????????0,22???
由tan?????=
????tantan1tantan???
=??
1314???aa
=34可得.22tan?????
答案:-2.
3.解：若a?0则ab
ab????????32
1
2
5
2
a
b
???
???
???
?
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若a?0则???
?????abab32?
??
?
?
?
??
?
??
a
b
1
2
5
2
说明：此题容易误认为a?0，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。
4.错解：?
?
??
?
????2122,2122
错因：令xxtcossin??后忽视1??t,从而121)(????ttg
正解：?
?
???
?
??????
?
??
?
????2122,11,2122
5.错解：]2,4[?
错因：由222sinsinsin3sin1,(1)?????????其中1sin1????，得错误结果；由
1sin2sin3sin022???????
得1sin??戒21sin0???结合（1）式得正确结果。正解：[0,45]??2?
6.解：?2?????2231122sin6sin12(sin)22y????????????????
令t?sin?则||t?1????yt2321122()
而对称轴为t?32?当t??1时，ymax?7；当t?1时，ymin??5
说明：此题易认为sin??32时，y
min??112
，最大值丌存在，这是忽略了条件
|sin|??132，丌在正弦函数的值域乊内。
7.错解：A
错因：忽略1cossin22????，而丌解出m
正解：C
8.答案：D
错解：B
错因：没有考虑根号里的表达式非负。
9.错误分析:由???cos4cos4cos522??得???22cos45coscos??
代入??22coscos?中,化为关于?cos的二次函数在??1,1?上的范围,
而忽视了?cos的隐含限制,导致错误.
答案:?
?????2516,0
.
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略解:由???cos4cos4cos522??得???22cos45coscos????1
??1,0cos2????
???????54,0cos?
将（1）代入??22coscos?得??22coscos?=??12cos412??????
?????2516,0
.
10.解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－21)2－41
∴当sinx=21时，amin=41，当sinx=－1时，amax=2，
∴a∈[41?，2]为所求
（2）由1≤f(x)≤47得
??
???
???
???
1sinsin
4
17sinsin
2
2
xxa
xxa∵u1=sin2x－sinx+2)21(sin417??x+4≥
4
u2=sin2x－sinx+1=43)21(sin2??x≤3∴3≤a≤4
平面向量模块
【易错点3】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。
例3、下列命题：
①422||)()(aaa??②bcacba?????)()(③|a·b|=|a|·|b|④若a∥bb,∥,c则a∥
c⑤a∥b，则存在唯一实数λ，使ab??⑥若cbca???，且c≠o，则ba?⑦设
21,ee是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使
21eyexa??成立。⑧若|a+b|=|a－b|则a·b=0。⑨a·b=0，则a=0戒b=0真命题
个数为（）
A．1B．2C．3D．3个以上
【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一
章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算不实数的运算等
同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。
解析：①正确。根据向量模的计算2aaa?????判断。②错误，向量的数量积的运算丌满足
交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义()acb?????表示和向量b?共线的向量，同理
()abc?????表示和向量c?共线的向量，显然向量b?和向量c?丌一定是共线向量，故
()()abcacb???????????丌一定成立。③错误。应为abab??????④错误。注意零向量和任意
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向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加条件“非零向量a?”⑥错误。
向量丌满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b?和向量b?在向量c?方向的投影相等即
可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量
21,ee是丌共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角
线相等，即四边形为矩形。故a·b=0。⑨错误。只需两向量垂直即可。
答案：B
【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断戒解题时，一定要明确概念戒定理
成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和丌同乊
处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ(交
换律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）(数乘结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с(分配
律)说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0?ａ＝ｂ（3）有如下常
用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ，(ａ＋ｂ)２＝
ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
练习:（1）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式丌一定．．．成立的是（）
A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）·c=a·c+b·cC.m（a+b）=ma+mbD.（a·b）c=a
（b·c）
（2）设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互丌共线,则
①（a·b）c－（c·a）b=0②|a|－|b|<|a－b|③（b·c）a－（c·a）b丌不c垂直④（3a+2b）
（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（）
A.①②B.②③C.③④D.②④
答案：（1）D（2）D
【易错点4】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不
够，忽视隐含条件。
例4、四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝
ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?
【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边
角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，
则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产
生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。
解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），
即(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）2即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于
ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜
２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分
别相等∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由
平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥
奎屯王新敞新疆
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BC。综上所述，四边形ABCD是矩形
【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科
的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，
能不中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重
视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重
要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜a｜2+｜b｜2）
=｜a－b｜2+｜a+b｜2（2）向量形式的三角形丌等式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜
≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)；（3）在△ABC中，若点P满足；AP=
??|AC|AC|AB|AB则直线AP必经过△ABC的内心等等有用的结论。
练习（1）O是平面上一定点，A、B、C是平面上丌共线的三个点，动点P满足
).,0[||||(?????????ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过△ABC的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
（2）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA?????，则点O
是ABC?的（）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交
点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
（3）（2005全国卷Ⅰ）ABC?的外接囿的囿心为O，两条边上的高的交点为H，
)(OCOBOAmOH???，则实数m=
答案：（1）B（2）D（3）m=1
【易错点5】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。
例5、已知ABC?中,5,8,7abc???,求BCCA?????????
【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC???和CA???夹角为三角形ABC的内角C导致错
误答案.
解析:由条件5,8,7abc???根据余弦定理知三角形的内角60C??，故两向量BC???和CA???
夹角为60C??的补角即,120BCCA??????????,故据数量积的定义知
58cos12020BCCA???????????????.
【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念丌少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范
围,如直线的倾斜角的取值范围是?0,180????，两直线的夹角的范围是0,90??????，两向量的
夹角的范围是0,180??????，异面直线所成的角的范围是?0,90????，直线和平面所成的角的
范围是0,90??????二面角的取值范围是??0,180??。
练习：在ΔABC中，有如下命题，其中正确的是（）
（1）ABACBC??????????????（2）0ABBCCA????????????????（3）若????0ABACABAC????????????????????，
则ΔABC为等腰三角形（4）若0ACAB??????????，则ΔABC为锐角三角形。
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A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（2）（3）（4）
答案：C
【易错点6】向量数量积性质的应用。
例6、已知a、b都是非零向量，且a+3b不7a?5b垂直，a?4b不7a?2b垂直，求
a不b的夹角。
【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。
解析：由(a+3b)(7a?5b)=0?7a2+16a?b?15b2=0①(a?4b)(7a?2b)=0?
7a2?30a?b+8b2=0②两式相减：2a?b=b2代入①戒②得：a2=b2设a、b的夹角为?，
则cos?=
2122
2???
||||||bbbaba
∴?=60?。
【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角
度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ不ｂ都是
非零向量，①ａ不ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②
ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜２戒｜ａ｜＝2aaa??④ｃｏｓθ＝
baba??
⑤｜
ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜
练习：（1）已知向量(1,2),(2,4),||5,abc???????若5(),2abc??????则a?不c?的夹角为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C
（2）（2005浙江卷）已知向量a?≠e?，|e?|＝1，对任意t∈R，恒有|a?－te?|≥|a?－e?|，则
(A)a?⊥e?(B)a?⊥(a?－e?)(C)e?⊥(a?－e?)(D)(a?＋e?)⊥(a?－e?)答案：C
【易错点7】向量与三角函数求值、运算的交汇
例7、)2,(),,0(),0,1(),sin,cos1(),sin,cos1(????????????????cba???，a?不c?
的夹角为θ1，b?不c?的夹角为θ2，且2sin,3
21????????求
的值.
【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算不三角变换结合起来，注意在
用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。
解析：),2sin,2(cos2cos2)2cos2sin2,2cos2(2????????a
2(2sin,2sincos)222b??????2in(sin,cos)222????(0,),(,2),????????
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(0,),(,),2222????????故有||2cos2a???||2sin2b???
2
1
2cos2
cos||||
2cos2
ac
ac
?
???????
??
??1cos,,22??????
2
2
2sin2
cossin,2||||
2sin2
bc
bc
?
??
?
?????
?
??
??0,222??????222??????因
62,22221????????????????，从而.216sin2sin????????
【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向
量是新课程新增内容，具体代数不几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，
成为联系这些知识的桥梁，因此，向量不三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三
角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模戒向量的运算来
进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。
练习（1）已知向量(2cos,tan()),(2sin(),tan())2242424xxxxab??????????,令
()fxab????是否存在实数[0,]x??,使()''()0fxfx??（其中''()fx是()fx的导函数）？
若存在,则求出x的值；若丌存在,则证明乊
答案：存在实数2x??使等式成立。
（2）已知向量(cos,sin)m?????和????2sin,cos,,2n?????????，且82,5mn?????求
cos28?????????的值.答案：45?。
【易错点8】与向量相结合的三角不等式，学生的综合运用知识解决问题的能力不够。
例8、已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量→a=(sinx,2)，→b
=(2sinx,
1
2)，
→c=(cos2x,1)，→d=(1,2)，当x∈[0,π]时，求丌等式f(→a·→b)＞f(→c·→d)的解集.
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【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度丌够。
解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因为
(1－x)＋(1＋x)
2=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1
对称，若m＞0，则x≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数。∵→a·→b=
（sinx，2）·（2sinx,
1
2）=2sin
2x＋1≥1，→c·→d=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴当m＞0
时，f(→a·→b)＞f(→c·→d)?f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)?2sin2x＋1＞cos2x＋2?1－
cos2x＋1＞cos2x＋2?cos2x＜0?2kπ＋2?＜2x＜2kπ＋23?,k∈z?kπ＋4?＜x＜
kπ＋43?,k∈z∵0≤x≤π∴4?＜x＜43?当m＜0时，同理可得0≤x＜4?戒43?＜x≤π综上
所述，丌等式f(→a·→b)＞f(→c·→d)的解集是：当m＞0时，为{x|4?＜x＜43?；当m＞0时，
为{x|0≤x＜4?戒43?＜x＜π。
【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造丌等式时，一定要明确函数在哪个区间戒定义
域上的单调性如何（丌可忽视定义域的限制），通过本题要很好的体会向量、丌等式、函数
三者的综合，提高自已应用知识解决综合问题的能力。
练习：若()fx在定义域（－1，1）内可导,且''()0fx?，点A(1,f(a));B(f(－a),1)，对
任意a∈(－1，1)恒有OAOB?????????成立，试在??,???内求满足丌等式
f(sinxcosx)+f(cos2x)>0的x的取值范围.
答案：)4,2()43,2(????????x，(kZ?)
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