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2014年北京大兴中考一模数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1．3?的相反数是（）．
A．3B．3?C．13?D．13
2．北京新机场货运量是每年3000000吨，将3000000用科学记数法表示应为（）．
A．7310?B．6310?C．53010?D．430010?
3．正五边形各内角的度数为（）．
A．72?B．108?C．120?D．144?
4．若菱形两条对角线的长分别为10cm和24cm，则这个菱形的周长为（）．
A．13cmB．26cmC．34cmD．52cm
5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数
的概率是（）．
A．15B．310C．13D．12
6．我市某一周的日最高气温统计如下表：
最高气温（C?）15161718
天数（天）1123
则这组数据的中位数与众数分别是（）．
A．18，17B．17.5，18C．17，18D．16.5，17
7．已知：如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果60APB???，⊙O
半径是3，则劣弧AB的长为（）．
A．πB．6πC．2πD．3π
8．若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，
则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有18个，且具有“波动性质”，则这18个数的和为（）．
A．64?B．0C．18D．64
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．若二次根式3x?有意义，则x的取值范围是_______________．
10．分解因式：22363=aabb??___________________．
11．若把代数式225xx??化为2()xmk??的形式，其中m，k为常数，则mk??____________．
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12．已知正方形ABCD的边长为2，E为BC边的延长线上一点，2CE?，连结AE，与CD交于
点F，连结BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为____________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BFCE?，ABBE?，DEBE?，垂足分别
为B、E，连结AC、DF，AD???．
求证：ABDE?．
14．计算：011129tan30(π4)()2??????．
15．求不等式组417
523xxx???????
的整数解．
16．已知2220xx???，求
24(1)(2)4xx????
的值．
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17．在平面直角坐标系xOy中，直线l与直线2yx??关于y轴对称，直线l与反比例函数kyx?的
图象的一个交点为(2,)Am．
（1）试确定反比例函数的表达式；
（2）若过点A的直线与x轴交于点B，且45ABO???，直接写出点B的坐标．
18．列方程（组）解应用题：
某工厂现在平均每天比原计划平均每天多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计
划生产400台机器所需的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，连结CE．求cosACE?和tanACE?的
值．
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20．某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、丁四个班
级植树的棵树和所占百分比情况进行了调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅不完整的
统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）这四个班共植树_______棵；
（2）请补全两幅统计图；
（3）若四个班级植树的平均成活率是95%，全校共植树2000棵，请你估计全校种植的树中成活
的树大约有多少棵？
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上一点，连结OD，
作BEOD∥交⊙O于点E，连结DE并延长交BN于点C．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若1AD?，4BC?，求直径AB的长．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，(8,0)E，(0,6)F．
（1）当(4,8)G时，则FGE??___________?．
（2）在图中的网格区域内找一点P，使90FPE???且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两
部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不
必说明理由，不写画法）．
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五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2yaxbxc???的图象与x的正半轴交于1(,0)Ax、
2(,0)Bx两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点A和点B间的距离为2，若将二次函数
2yaxbxc???的图象沿y轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x轴两交点间的距离为
4．
（1）求二次函数2yaxbxc???的表达式；
（2）在二次函数2yaxbxc???的图象的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之
差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设二次函数2yaxbxc???的图象的顶点为D，在x轴上是否存在这样的点F，使得
DFBDCB???？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
24．在等边ABC△中，ADBC?于点D．
（1）如图1，请你直接写出线段AD与BC之间的数量关系：AD?_____BC；
（2）如图2，若P是线段BC上一个动点（点P不与点B、C重合），连结AP，将线段AP绕点A
逆时针旋转60?，得到线段AE，连结CE，猜想线段AD、CE、PC之间的数量关系，并证明你
的结论；
（3）如图3，若点P是线段BC延长线上一个动点，（2）中的其他条件不变，按照（2）中的作
法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系．
[来源：Zxxk．Com]
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25．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”
（1）已知：如图1，在ABC△中，90C???，23BC?，27AB?．
求证：ABC△是“匀称三角形”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，
我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”．如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区
域记为G，每个小正方形的顶点称为格点，(3,0)A，(4,0)B，若C、D（C、D两点与O不重
合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧．在G内使PAC△与PBD△都是“水平匀称三角形”的
点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存
在请说明理由．
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2014年北京大兴中考一模数学试卷答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号12345678
答案ABBDDCCB
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9101112
3x????23ab?5?453
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．证明：∵BFCE?，
∴BFFCCEFC???．
即BCEF?．
∵ABBE?，DEBE?，
∴90BE?????．
又AD???，
∴ABCDEF?△△．
∴ABDE?．
14．解：11129tan30(π4)()2???????
3239123?????
31???．
15．解：解不等式417x??，得2x?．
解不等式523xx??，得1x??．
∴原不等式组的解集是12x???．
∴原不等式组的整数解为0，1．
16．解：
24(1)(2)4xx????
244(2)(2)(2)xxxx???????
2=2xx?
∵2220xx???，
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∴222xx??．
∴原式1=2．
17．解：（1）由题意，直线l与直线2yx??关于y轴对称，
∴直线l的解析式为2yx?．
∵点(2,)Am在直线l上，
∴224m???．
∴点A的坐标为(2,4)．
又∵点(2,4)A在反比例函数kyx?的图象上，
∴42k?，
∴8k?．
∴反比例函数的解析式为8yx?．
（2）(6,0)或(2,0)?．
18．解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(50)x?台机器．
依题意，得：60040050xx??
解得：150x?．
经检验：150x?是所列方程的解且符合题意．
答：现在平均每天生产150台机器．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：过点E作EFAC?于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴90BADD?????，AC平分BAD?，
ADDC?．
∴45CAD???，2ACAD?．
∵E是AD中点，
∴12AEDEAD??．
设AEDEx??，则2ADDCx??，22ACx?，5CEx?．
在RtAEF△中，2sin
2EFAECADx????
，2
2AFEFx??
．
∴23222
22CFACAFxxx?????
．
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∴323102
cos105xCFACECEx????
，
∴212tan
332
2
xEFACE
CFx????
．
20．解：（1）200；
（2）
（3）根据题意得：200095%1900??（棵）．
答：全校种植的树中成活的树大约有1900棵．
21．（1）证明：连结OE，
在⊙O中，
∵OEOB?，
∴OBEOEB???．
∵ODBE∥，
∴AODOBEOEBEOD???????．
∵OAOE?，ODOD?，
∴AODEOD?△△．
∴OADOED???．
∵AM是⊙O的切线，切点为A，
∴BAAM?，
∴90OADOED?????，
∴OEDE?．
∵OE是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线．
（2）过点D作BC的垂线，垂足为H．
H
DM
C
O
A
B
E
N
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∵BN切⊙O于点B，
∴90ABCBADBHD???????，
∴四边形ABHD是矩形，
∴1ADBH??，ABDH?，
∴413CHBCBH?????．
∵AD、CB、CD分别切⊙O于点A、B、E，
∴1ADED??．
∴4BCCE??，
∴145DCDECE?????．
在RtDHC△中，
222DCDHCH??，
∴22534ABDH????．
22．（1）90
（2）(7,7)P，PM是分割线．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：（1）∵平移后的函数图象过原点且与x轴两交点间的距离为4，
∴平移后的函数图象与x轴两交点坐标为(0,0)，(4,0)或(0,0)，(4,0)?．
∴它的对称轴为直线2x?或2x??．
∵抛物线2yaxbxc???与x轴的正半轴交于A、B两点，
∴抛物线2yaxbxc???关于直线2x?对称，
∵它与x轴两交点间的距离为2，且点A在点B的左侧．
∴其图象与x轴两交点的坐标为(1,0)A、(3,0)B．
由题意知，二次函数2yaxbxc???的图象过(0,3)C?．
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∴设23yaxbx???．
∴30
9330abab?????????
，
解得1
4ab??????
．
∴二次函数的解析式是243yxx????．
（2）∵点B关于直线x=2的对称点为A（1，0）
设直线AC的解析式为ymxn??
03mnn???????∴
33mn??????解得
∴直线AC的解析式为33yx??．
直线AC与直线2x?的交点P就是到B、C两点距离之差最大的点．
当2x?时，3y?．
∴点P的坐标为(2,3)．
（3）在x轴上存在这样的点F，使得DFBDCB???．
抛物线243yxx????的顶点D的坐标为(2,1)．
设对称轴与x轴的交点为点E，
在RtDEB△中，1DEBE??，
∴45DBE???．
在RtOBC△中，3OBOC??
∴45OBC???，
∴90DBC???．
在RtDBC△中，2DB?，32BC?，
∴1tantan3DBDCBDFBBC?????
∵DEx?轴，1DE?，
∴3EF?．
∵(2,0)E，
∴符合题意的点F的坐标为1(1,0)F?或2(5,0)F．
24．解：（1）3
2
．
（2）3()
2ADCEPC??
．
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理由如下：
∵线段AP绕点A逆时针旋转60?，得到线段AE，
∴60PAE???，APAE?，
∵等边三角形ABC，
∴60BAC???，ABAC?，
∴BACPACPAEPAC???????，
∴BAPCAE???，
在ABP△和ACE△中
ABAC
BAPCAE
APAE
???
?????
??
，
∴ABPACE?△△，
∴BPCE?，
∵BPPCBC??，
∴CEPCBC??，
∵3
2ADBC?
，
∴3()
2ADCEPC??
．
（3）如图，3()
2ADCEPC??
．
25．解：（1）如图1，作AC边的中线BD交AC于点D，
∵90C???，23BC?，27AB?，
∴224ACABBC???．
∴2ADCD??．
224BDCDBC???
∴ACBD?，
∴ABC△是“匀称三角形”．
（2）①在G内使PAC△与PBD△都是“水平匀称三角形”的点P共有4个．
②在G内使PAC△与PBD△都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P．
如图，当C点坐标为(2,0)，D点坐标为(3,0)与A重合时，PAC△与PBD△是水平匀称三角形．
∵(3,0)A，(2,0)C，(4,0)B，(3,0)DD（3，0）
∴1AC?，1BD?，
设PM、PN分别为CA、DB上的中线，
∴1122AMAC??，1122ANBD??，
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∴AMAN?．
∴点A为MN的中点．
∵PAC△与PBD△是“水平匀称三角形”，
∴1PMAC??，1PNBD??，
∴1PMPN??．
∴PAMN?，即PA与x轴垂直．
∵(3,0)A,
∴P点横坐标为整数3．
在RtPMA△中，1PM?，12AM?，
∴131
42PA???
．
∴3(3,)
2P
．
所以，当C点坐标为(2,0)，D点坐标为(3,0)与A重合时，PAC△与PBD△是水平匀称三角形
且P点横坐标为整数．
解法2．在长方形区域内使PAC△与PBD△都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数
的点P．
如图，当C点坐标为(2,0)，D点坐标为(3,0)与A重合，P点横坐标为3时．
∵(3,0)A，P点横坐标为3，
∴PA与x轴垂直．
∵(3,0)A，(2,0)C，(4,0)B，(3,0)D，
∴1AC?，1BD?
设AC中点为M，BD中点为N．
∴1122AMAC??，1122ANBD??，
∴AMAN?．
要使PAC△与PBD△是水平匀称三角形
只需1PMAC??，1PNBD??，
∵PA与x轴垂直
在RtPMA△中，1PM?，12AM?，
∴131
42PA???
．
∴3(3,)
2P
．
所以，当C点坐标为(2,0)，D点坐标为(3,0)与A重合时，PAC△与PBD△是水平匀称三角形
且P点横坐标为整数．
N
P
MCBA(D)O
y
x
N
P
MCBA(D)O
y
x
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2014年北京大兴中考一模数学试卷部分解析
一、选择题
1.【答案】A
【解析】3?的相反数是3，故选A．
2.【答案】B
【解析】3000000用科学记数法表示应为6310?，故选B．
3.【答案】B
【解析】正五边形每个外角都等于360=725??，每个内角的度数为18072108?????；或者正五边形
内角和为(52)180540?????，每个内角的度数为540=1085??，故选B．
4.【答案】D
【解析】菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线的长分别为10cm和24cm，菱形边长为13cm，
故这个菱形的周长为134=52cm?，故选D．
5.【答案】D
【解析】这10个数中，2的倍数有2，4，6，8，10一共5个，故随机取出一个数，取出的数是
2的倍数的概率是51=102，故选D．
6.【答案】C
【解析】这组数据的中位数是17，众数18，故选C．
7.【答案】C
【解析】依题可知，120AOB???，弧AB的长为120π3=2π180???，故选C．
8.【答案】B
【解析】设第一个数为a，第二个数为b，第三个数为ba?，第四个数为a?，第五个数为b?，第
六个数为ab?，第七个数又为a，第八个数为b，第九个数为ba?……
这一系列的数6个一循环，前6个数的和为()()()()0abbaabab??????????，故前18个数的
和为0，故选B．
二、填空题
9.【答案】3x?≥
【解析】二次根式3x?有意义，30x?≥，3x?≥．
故答案为：3x?≥．
10.【答案】??23ab?
【解析】分解因式：222223633(2)3()aabbaabbab???????．
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故答案为：??23ab?．
11.【答案】5?
【解析】222225(21)6(1)6xxxxx?????????，1m?，6k??，5mk??．
故答案为：5?．
12.【答案】45
3
【解析】延长AD、BG交于点M．
依题可知，ADCE∥，ADCE?，DFCF?，BFMF?，DMBC?．
DGMEGB∽△△，12MGDMBGBE??，23BGBM?，222425BM???，453BG?．
故答案为：45
3
．
|
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