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2014年北京通州中考一模数学试卷
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1．1
2?
的绝对值是（）．
A．2B．1
2
C．2?D．1
2?
2．2013年12月14日，随着嫦娥三号月球探测器缓缓降落在月球表面，中国成为继前苏联和美国
后第三个实现月球软着陆的国家．月球与地球的平均距离是384000公里．数字384000用科学
记数法表示为（）．
A．53.8410?B．438.410?C．60.38410?D．63.8410?
3．如果一个正多边形的一个外角是45?，那么这个正多边形的边数是（）．
A．6B．7C．8D．9
4．右图是某几何体的三视图，这个几何体是（）．
A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．三棱锥
5．某市2014年4月份一周空气质量报告中某种污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，
31，这组数据的中位数和众数分别是（）．
A．32，31B．31，32C．31，31D．32，35
6．如图，ABCD∥，CDBD?，68ABD???，那么C?的度数是（）．
A．30?B．33?
C．34?D．36?[来源:Zxxk．
Com]
7．一盒子内放有只有颜色不同的2个红球、3个白球和4个黑球，搅匀后任意摸出1个球是黑球的
概率为（）．
A．19B．13C．14D．49
8．如图，平行四边形纸片ABCD，5CD?，2BC?，60A???，将纸片折叠，使点A落在射线AD
上（记为点A?），折痕与AB交于点P，设AP的长为x，折叠后纸片重叠部分的面积为y，可
以表示y与x之间关系的大致图象是（）．
主视图左视图俯视图
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C
BOA
D
A．B．C．D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．如果二次根式31x?有意义，那么x的取值范围是______________．
10．分解因式：231212xx???_________________．
11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，68D???，
则ABC?等于__________________．
12．如图，在反比例函数4(0)yxx??的图象上，有点1P，2P，3P，4P……nP（n为正整数，且1n≥），
它们的横坐标依次为1，2，3，4……n（n为正整数，且1n≥）．分别过这些点作x轴与y轴的
垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S，2S，3S……1nS?（n为
正整数，且2n≥），那么123SSS???___________，
12341nSSSSS??????____________．（用含有n的代数式表示）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：??021()122cos30π32?????．
14．解不等式：2(2)31xx??≤．
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15．已知：32xy?，求代数式22(2)(2)xyxxyy????的值．
16．如图，在ABC△中，45ABC???，高线AD和BE交于点F．
求证：CDDF?．
17．已知：关于x的一元二次方程220xaxa????．
（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根为2?时，求方程的另一个根．
18．列方程或方程组解应用题：
现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空
调，乙安装队为B公司安装60台空调，两个安装队同时开工恰好同时安装完成，甲队比乙队平均
每天多安装2台空调．求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．
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人数
成绩等级
10
60
100
80
60
40
20
0
CDBA
四、解答题（本题共20分，每小题5分）[来源:学+科+网Z+X+X+K]
19．为了解某区2014年八年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名八年级学生的测试成
绩进行了统计分析，并根据抽取的成绩等级绘制了如下的统计图表（不完整）：
图1
图2图3
请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生有___________名，成绩为B类的学生人数为_________名，C类成绩所在扇
形的圆心角度数为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）根据抽样调查结果，请估计该区约5000名八年级学生体育测试成绩为D类的学生人数．
20．如图：在矩形ABCD中，2AB?，5BC?，E、P分别在AD、BC上，且1DEBP??．
求证：四边形EFPH为矩形．
[
21．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连结BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线
交于点A，OEBD∥，交BC于点F，交AE于点E．
（1）求证：EC???；
（2）当⊙O的半径为3，4cos5A?时，求EF的长．
5%
B50%
C15%
D
A______
成绩等级ABCD
人数6010
P
AD
CB
H
F
E
5/14
22．问题解决
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEF重合放置，其中90C???，
30BE?????．
（1）如图2，固定ABC△，将DEC△绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，设BDC△的
面积为1S，AEC△的面积为2S，那么1S与2S的数量关系是__________；
（2）当DEC△绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S与2S的数量关系仍然成
立，并尝试分别作出了BDC△和AEC△中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）如图4，60ABC???，点D在其角平分线上，6BDCD??，DEAB∥交BC于点E，
若点F在射线BA上，并且DCFBDESS?△△，请直接写出．．．．相应的BF的长．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数228yxx????的图象与一次函数yxb???的图
象交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为7?．点P是二次函数图象上A、B两点之
间的一个动点（不与点A、B重合），设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线交AB于点C，
作PDAB?于点D．
（1）求b及sinACP?的值；
（2）用含m的代数式表示线段PD的长；
（3）连接PB，线段PC把PDB△分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形
的面积之比为1:2．如果存在，直接写出．．．．m的值；如果不存在，请说明理由．
ACA（D）
B（E）
C
DE
图1图2
B
D
A
BC
D
E
图4
y
x
A
B
D
C
O
P
A
B
C
D
E
N
M
图3
6/14
24．已知：等边ABC△中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，
以点M为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60?至MD?，连接ED?．
（1）如图1，当点M在点B侧时，线段ED?与MF的数量关系是__________；
（2）如图2，当点M在BC边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证
明，如果不成立，请说明理由；
（3）当点M在点C右侧时，请你在图．．3中画出相应的图形．．．．．．．．，直接判断．．．．（1）中的结论是否依然
成立？不必给出证明或说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径8OB?，点C是半圆上一
点，60COA???，二次函数2()yaxhk???的图象经过点A、B、C．动点P和点Q同时从点
O出发，点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C，点Q以每秒两个单位的速度在OB上运
动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动．点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，
顺次连接点D、P、Q，设点P的运动时间为t秒，DPQ△的面积为y．
（1）求二次函数2()yaxhk???的表达式；
（2）当120DQP???时，直接写出．．．．点P的坐标；
（3）在点P和点Q运动的过程中，DPQ△的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t值
和DPQ△面积的最大值；如果不存在，请说明理由．
备用图
y
x
Q
DC
ABO
P
D''
F
ED
C
A
B
M
D''
F
ED
C
A
BM
图1
F
ED
C
A
BM
图3图2
y
x
Q
DC
ABO
P
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2014年北京通州中考一模数学试卷答案
一、选择题
1．B，2．A，3．C，4．A，
5．C，6．C，7．D，8．A
二、填空题
9．13x?≥，10．23(2)x?，
11．22?，12．32；22n?．
三、解答题：（本题共30分，每小题5分）
13．解：??021()122cos30π32??????
=4+2331??
=53?．
14．解：2(2)31xx??≤
2431xx??≤
3x??≤
3x≥．
15．解：22(2)(2)xyxxyy????
2222442xxyyxxyy??????
2=32xxy?
∵32xy?
∴原式32xxxy???
22xyxy??
0?．
16．证明：∵AD、BE是ABC△的高线
∴ADBC?，BEAC?，
∴90ADBADC?????，90AEB???．
∵45ABC???，
∴ADB△是等腰直角三角形，
∴ADBD?．
∵2390?????，1490?????，34???，
∴12???
在BDF△和ADC△中，
12
ADBD
ADCBDF
?????
???
????
8/14
∴BDFADC?△△(ASA)
∴CDDF?．
17．（1）证明：241(2)aa??????
248aa???
2(2)4a???
∵2(2)0a??
∴0??
∴无论a取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵此方程的一个根为2?，
∴4220aa????
∴2a?
一元二次方程为：220xx??
∴方程的另一个根为：0x?．
18．解：设乙安装队每天安装x台空调，则甲安装队每天安装(2)x?台空调
根据题意得：66602xx??，
解方程得：20x?．
经检验：20x?是方程的解，并且符合实际．
∴222x??（台）．
答：甲安装队每天安装22台空调，乙安装队每天安装20台空调．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）本次抽查的学生有200名；成绩为B类的学生人数为100名，
C类成绩所在扇形的圆心角度数为54?．
（2）
（3）该区约5000名八年级学生实验成绩为D类的学生约为250人．
20．解：∵在矩形ABCD中
∴ABDC?，ADBC∥，
∵EDBP?，
∴四边形DEBP是平行四边形
∴BEBP∥．[来源:学科网]
∵ADBC?，ADBC∥，DEBP?，
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∴AECP?，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴APCE∥，
∴四边形EFPH是平行四边形．
∵在矩形ABCD中，
∴90ADCABP?????，5ADBC??，2ABCD??，
∴5CE?，同理2BE?．
∴222BECEBC??，
∴90BEC???，
∴四边形EFPH是矩形．
21．（1）证明：连接OB．
∵CD为⊙O的直径，
∴90CBDCBOOBD???????．
∵AE是⊙O的切线，
∴90ABOABDOBD???????，
∴ABDCBO???．
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OBOC?，
∴CCBO???．
∵OEBD∥，
∴EABD???，
∴EC???．
（2）解：∵在RtOBA△中，4cos5A?，3OB?，
∴4AB?，5AO?，
∴2AD?．
∴BDOE∥，
∴ABADBEOD?
∴423BE?
∴6BE?，
∵OEBD∥，
∴90EFBCBDOBE???????，
∵在RtOBE△中，31tan62OBEBE???，
∴在RtFBE△中，1tan2FBEFE??，
设FB为x，
∵222EBEFBF??，
∴2226(2)xx??，
10/14
∴65
5x?
（舍负）
∴125
5EF?
．
22．（1）相等．
（2）证明：∵DM、AN分别是BDC△和AEC△中BC、CE边上的高，
∴90DMCANC?????．
∵90DCE???，
∴90DCN???，
∴90DCBBCN?????．
∵90ACB???，
∴90ACNBCN?????，
∴DCBACN???．
∵DCAC?，
∴DCMACN?△△(AAS)．
∴DMAN?，
∵
12BCDBCDMSS???△
，
22ACECEANSS???△
，
且CEBC?，
∴12SS?．
（3）23BF?或43BF?．
23．（1）解：∵当0y?时，2280xx????，
∴12x??，24x?．
∵点A在x轴负半轴上，
∴(2,0)A?，2OA?．
∵点A在一次函数yxb???的图象上，
∴20b??，
∴2b??．
∴一次函数表达式为2yx???．
设直线AB交y轴于点E，则(0,2)E?，2OEOA??，
∵PCx?轴交AB于点C，
∴PCy∥轴，
∴45AEOACP?????，
∴2sinsin45
2ACP????
．
（2）解：
A
B
C
D
E
N
M
y
x
E
A
B
D
C
O
P
11/14
∵点P在二次函数228yxx????图象上且横坐标为m，
∴2(,28)Pmmm???，
∵PCx?轴且点C在一次函数2yx???的图象上，
∴(,2)Cmm??，
∴2310PCmm????．
∵PDAB?于点D，
∴在RtCDP△中，2sin
2PDACPPC???
，
∴223252
22PDmm????
．
（3）m的值为1?和2．
24．（1）EDMF??；
（2）ED?与MF的相等关系依然成立．
证明：连接DE、DF、DD?，
∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DEBC∥，12DEBC?，DFAC∥，12DFAC?，
∴四边形DFCE为平行四边形．
∵ABC△是等边三角形，
∴BCAC?，60C???，
∴DEDF?，60EDFC?????．
∵MD=MD?，DMD??=60o，
∴DMD?△是等边三角形，
∴60MDD????，MDDD??，
∴MDDEDF????．
∵MDFMDDFDD???????，
∴EDDEDFFDD???????，
∴MDFEDD????，
∴DDEDMF??△△(SAS)．
∴EDMF??．
（3）ED?与MF的相等关系依然成立，
画出正确图形．
25．（1）解：连接AC．
∵A为半圆的圆心，8OB?，
∴4ACAO??．A
∵60COA???，
∴AOC△为等边三角形，
∴(2,23)C．
易知(4,0)A，(8,0)B，
∴二次函数图象的对称轴为6x?．
D''
F
ED
C
A
BM
D''
F
ED
C
A
BM
y
x
Q
DC
ABO
P
12/14
将点(4,0)A，(2,23)C分别代入2(6)yaxk???，
解得：3
6a?
，
∴2323(6)
63yx???
．
（2）(1,3)P．
（3）连接BC、DB，延长DB、PQ交于点E．
∵OPt?，2OQt?，
∴4OC?，8OB?，
∴OPOQOCOB?．
∵POQCOB???，
∴OPQOCB∽△△，
∴OPQOCB???．
∵OB为半圆的直径，
∴90OCB???，
∴90OPQ???，
在RtOPQ△中，3PQt?．
连接CD，
∵点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，
∴CDOB∥．
∵(2,23)C且对称轴为6x?，
∴(10,23)D，
∴8CDOB??．
∴四边形OCDB为平行四边形，
∴OCDB∥，
∴90DEPOPQ?????．
在RtBEQ△中，30BQEOQP?????，82BQt??，
∴4BEt??，
∴8DEt??，
∴113(8)22
DPQSPQDEtt????△
，
即23(4)83
2yt????
．
∴当4t?时，DPQ△的面积的最大值为83．
y
x
E
Q
DC
ABO
P
13/14
2014年北京通州一模数学试卷部分解析
一、选择题
1.【答案】B
【解析】1
2?
的绝对值是1
2
，故选B．
2.【答案】A
【解析】384000用科学记数法表示为53.8410?，故选A．
3.【答案】C
【解析】正多边形的一个外角是45?，正多边形外角和为360?，这个正多边形的边数为360845n????，
故选C．
4.【答案】A
【解析】主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆和圆心一点，那么这个几何体是圆锥，故选A．
5.【答案】C
【解析】这组数据中众数是31，中位数为31，故选C．
6.【答案】C
【解析】∵ABCD∥，∴ABCDCB???，∵CDBD?，∴1=342DBCDCBABCABD????????，
故选C．
7.【答案】D
【解析】一共有2+349??个球，其中黑球有4个，任意摸出1个球是黑球的概率为49，故选D．
8.【答案】A
【解析】当02x≤≤时，A?落在线段AD上，重叠部分的面积是21133=
2228yxxx???
，是开口
向上的抛物线；
当24x≤≤时，重叠部分的面积是222333(2)=33
848yxxxx??????
，是开口向下的抛物
线，且在对称轴为4x?的左侧；
当45x??时，重叠部分的面积是12332y????，面积不变，故选A．
二、填空题
9.【答案】13x?≥
【解析】二次根式31x?有意义的条件为310x?≥，13x≥-．
14/14
故答案为：13x?≥．
10.【答案】23(2)x?
【解析】分解因式：222312123(44)3(2)xxxxx???????．
故答案为：23(2)x?．
11.【答案】22?
【解析】依题可知，AB是⊙O的直径，90ACB???，90AABC?????，68AD?????，
22ABC???．
故答案为：22?．
12.【答案】32；22n?
【解析】由题意可知，1(1,4)P，4k?，2(2,2)P，
34(3,)3P
，4(4,1)P……
14(1,)1nPnn???
，4(,)
nPnn
．
1231443(42)+(2)+(1)2332SSS??????????????
．
12341144444(42)+(2)++()+()23211nSSSSSnnnn????????????????????
22n??．
故答案为：32；22n?．
|
|
