2015.4平谷区第二学期初三统练（一）数学试卷
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．根据平谷区口抽样调查2014年末常住人口423人，将423用科学记数法表示应为
A．B．C．D．
检查个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：
篮球的编号 1 2 3 4 与标准质量的差(克) +4 + 则质量较好的篮球的编号是
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠=90°，点D在C边上，DEB，若∠=150°，则∠的度数为
A．B．C．D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
5．函数中自变量的取值范围是
AB．C．D．
6．下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是
7．某学校为了解学生大课间体育活动情况，随机抽取本校部分学生进行调查．整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．小明随机调查一名学生，他喜欢“踢毽子”的概率是
A．B．C．D．
100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温（℃）和时间（）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是
A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟
（第8题图）（第9题图）
9．如图AB是O的直径AC=30°，CD丄AB则O的径
A．8BCD
10．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．设四边形APFE的面积为y（cm2），则下列图象中，能表示y与t的函数关系的图象大致是
二、填空题(本题共18分，每小题3分)
分解因式：
12．甲、乙二人进行射击比赛，已知他们每人五次射击的成绩如下表（单位：环），那么二人中成绩最稳定的是．
第二次 第三次 第四次 第五次 甲 9.3 7.9 4 7．1 6 乙 6.1 6.8 7.2 8 6.2
13．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为米．
（第12题图）（第13题图）
14．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，若OA=4，OC=6，写出一个函数，使它的图象与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点D，E，这个函数的表达式为．
1．学习
的图象向左平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为．
16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
17．如图，．
18．计算：
19．．
20．已知实数a满足，求的值.
21．关于x的一元二次方程．
（1）求；
（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数
22．列方程或方程组解应用题：
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，
且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．
24．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：
请结合图中信息解答下列问题：
（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为；
（2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；
（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有多少人？
25．如图，AB为O的直径，BC切O于点B，AC交O于点D，BAC=2∠CBE，交AC于E，交O于点F，连接AF．
（1）求证：∠CBE=∠CAF；
（2）过点E作EG⊥BC于点G，若∠C=45°，CG=1，
求⊙O的半径．
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．
小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类
∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
第一种情况：当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E<90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；
A．全等B．不全等C．不一定全等
第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E>90°，求证：△ABC≌△DEF．
五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题分，第29题分)
27．已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tanα=2时，求点P的坐标．
28．（）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=80°，∠A+∠C=180°，点M是AD上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转0°，与CD边交于点N，求MN，AM，CN的数量关系；
（）如图，在菱形ABCD中，点M是AD上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋，与CD边交于点N，连结MN，AM，CN，MN
（3）正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，C上，若△MN的周长为2，则△MBN的面积最小值为．
2．设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的闭函数．，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当时，有，所以说函数是闭区间[1,3]上的闭函数．
反比例函数y=是闭区间[1,2015]上的闭函数吗？请判断并说明理由；
若二次函数y=是闭区间[,2]上的闭函数，求的值
（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[,n]上的闭函数，求此函数的解析式
平谷区2014—2015学年度第二学期初三统练答案（一）
数学试卷2015.4
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B B A C C D 二、填空题(本题共18分，每小题3分)
；12．乙；13．160；14．答案不唯一，如(x<0)；
15．16．6或或（每个答案1分，多写扣1分）
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
17．
∴∠CAD+∠BAD=∠EAB+∠BAD．
即∠CAB=∠EAD．…………………………………………………………………1
∵AB=AD，AC=AE，…………………………………………………………………3
∴△ABC≌△ADE．…………………………………………………………………4
∴BC=DE．……………………………………………………………………………5
18．解：原式=…………………………………………………………4
=……………………………………………………………………………5
19．
解不等式①，得，………………………………………………………………2
解不等式②，得，…………………………………………………………………4
∴原不等式组的解集为：．…………………………………………………5
20．
=…………………………………………………………1
=
=…………………………………………………………………………2
=
=
=………………………………………………………………………………3
∵，
∴．
∴原式=……………………………………………………………………………4
=…………………………………………………………………………………5
21．解：（1）根据题意得≠1……………………………………………………………………1
△＝(–2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4…………………………………………………2
∴m的取值范围是≠1；
（2）∴x1＝………………………………………………………………
x2＝＝
x2＝=…………………………………………………………
∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴－1=1或2
∴ｍ=2或3.………………………………………………………………………
22．解：设甲工厂每天能加工件新产品，则乙工厂每天加工件新产品．………………
依题意得，…………………………………………………………
解得.………………………………………………………………………………
经检验，是原方程的解，并且符合题意．………………………………………
∴.
答：甲、乙两个工厂每天能加工新产品的件数分别为40件、60件．……………………
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，…………………………………………………………1
∠ABD=∠BDE．
∴AF=DE．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE．
∴∠DBE=∠BDE．
∴BE=DE．
∴BE=AF．…………………………………………………………………………………2
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×12=6．…………………………………………3
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=6．
∴BE==．
∴DE=BE=．………………………………………………………………………4
∴四边形ADEF的面积为：DE?DG=．………………………………………5
24．解：（1）30%；…………………………………………………………………………………1
（2）小组合作学习后学生学习兴趣的统计图如下：
……………………………………2
（3）小组合作学习前学生学习兴趣“中”的有100×25%=25（人），
小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人）；………………………………3
小组合作学习前学生学习兴趣“高”的有100×30%=30（人），
小组合作学习后学习兴趣提高了35﹣30=5（人）；
小组合作学习前学生学习兴趣为“极高”的有100×25%=25（人），
小组合作学习后学习兴趣提高了30﹣25=5（人），
∴2000×=300（人）．……………………………………………………4
答：全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有300人．……………………5
25．（1）证明：BC切O于点B，
ABF+∠CBE=90°．…………………………………………………………
∵AB是O的直径，
AFB=90°．
ABF+∠BAF=90°．
CBE=∠BAF．
BAC=2∠CBE，
∴∠BAF+∠CAF=2∠CBE．
即∠CBE=∠CAF．………………………………………………………………2
（2）G⊥BC于点G，
∴∠CBE+∠BEG=90°．
∵∠CAF+∠AEF=90°，
∴∠BEG=∠AEF．
连接BD，
∵AB是O的直径，
ADB=90°．
90°．
∵BE=BE
∴△BED≌△BEG．
∴ED=EG．………………………………………………………………………3
∵∠C=∠CEG=45°，
∴EG=CG=1，CE=．
∴DE=1．
∴CD=1+．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，
∴∠BAC=45°．
∴AD=BD=CD=1+．
∴AB=2+……………………………………………………………………4
∴⊙O的半径为……………………………………………………5
26．解：
画出DF，选择A（或画出D’F，选择B）…………………………………………………1
画出DF和D’F，选择C……………………………………………………………………2
证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，
过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H，
∵∠B=∠E，
∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，
即∠CBG=∠FEH，…………………………………………………………………………3
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，，
Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，………………………………………………………………………………4
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．………………………………………………………………5
五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题分，第29题分)
21）∵抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴，解得．
∴抛物线为y=﹣x2+x+2①；………………………………………………………1
∴顶点D（，）．………………………………………………………………2
（2）如图，作ENBC，交y轴于N，过C作CMEN于M，
令x=0，得y=2,
OC=OB=2．
OCB=45°．
EN∥BC，
CNM=∠OCB=45°．
CM⊥EN于M，
CNM=∠CMN=45°．
MN=CM=．
CN=1．
直线NE的解析式为：y=﹣x+3………3
把②代入①，解得．
E（1，2）．………………………………
（3）过E作EF⊥AB于F
∴tan∠EOF=2，
又∵tan∠α=2，
∴∠EOF=∠α，
∵∠EOF=∠EAO+∠AEO=∠α，
∠EAO+∠EPO=∠α，
∴∠EPO=∠AEO，
∵∠EAO=∠PAE，
∴△AEP∽△AOE，……5
∴，
∵AE==，AO=1，
∴AP=8，
∴OP=7，
∴，………………………………………………………………………6
由对称性可得，………………………………………………………7
∴或．
28．解
………………………………………………………1
延长DA到点E，使AE=CN，连接BE
∵∠BAD+∠C=180°．
∴∠EAB=∠C．
又∵AB=BC，AE=CN，
∴△ABE≌△CBN．
∴∠EBA=∠CBN，BE=BN．…………………………………………………………2
∴∠EBN=∠ABC．
∵∠ABC=80°，∠MBN=40°，
∴∠EBM=∠NBM=40°．
∵BM=BM，
∴△EBM≌△NBM．
∴EM=NM．…………………………………………………………………………3
∴MN=AM+CN．……………………………………………………………………4
（2）
……………………………………………………5
MN
（3）…………………………………………………………………………8
29．解（1）反比例函数y=是闭区间[1,2015]上的闭函数．理由如下：
反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2015；…………………………………………………………………
当x=2015时，y=1，
∴当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，
反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的闭函数；……………………
（）由于函数的图象开口向上，
对称轴为，……………………………………………………………………
∴二次函数在闭区间[1,2]内，y随x的增大而．
∴k=．
当x=2时，y=2，
∴k=．
即图象过点（1,1）和（2,2）
∴当1≤x≤时，有1≤y≤，符合闭函数的定义，
．……………………………………………………………………………4
（）因为一次函数是闭区间上的闭函数，
根据一次函数的图象与性质，有：
当时，
，……………………………………………………………………
解得．
……………………………………………………………………………6
（Ⅱ）当时，
，解得
，………………………………………………………………
∴一次函数的解析式为或．
12
B．
D
C．
A．
A
C
D
B
t
8
4
O
y
t
8
4
O
y
D．
t
8
4
O
y
B．
t
8
4
O
y
A．
图1
图2
图
图1
图
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