高一数学同步学
名校期中考题每日一练(77)
1．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为??????－1，12，则b－a的值不可能
是()
A.π3B.2π3
C．πD.4π3
2．已知函数f(x)＝sin??????x－π2(x∈R)，下面结论错误的是()
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间??????0，π2上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
3．函数y＝2cos2x的一个单调增区间是()
A．(－π4，π4)B．(0，π2)
C．(π4，3π4)D．(π2，π)
4．已知函数f(x)＝sin??????2ωx－π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一
条对称轴方程是()
A．x＝π12B．x＝π6
C．x＝5π12D．x＝π3
5．函数y＝2sin??????πx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()
A．2－3B．0
C．－1D．－1－3
6．(2013·全国大纲卷)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是()
A．y＝f(x)的图象关于点(π，0)中心对称
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝π2对称
C．f(x)的最大值为32
D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2013·江苏卷)函数y＝3sin(2x＋π4)的最小正周期为________．
8．函数y＝cos??????π4－2x的单调减区间为________．
9．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??????4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值
为________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．设f(x)＝1－2sinx.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．
11．(2013·陕西卷)已知向量a＝(cosx，－12)，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函
数f(x)＝a·b.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)在[0，π2]上的最大值和最小值．
12．(2013·安徽卷)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)(ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值；
(Ⅱ)讨论f(x)在区间[0，π2]上的单调性．
1.解析画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为??????2π3，4π3.故选A.
答案A
2.解析∵y＝sin??????x－π2＝－cosx，∴T＝2π，在??????0，π2上是增函数，图象关于y
轴对称，为偶函数．
答案D
3.解析y＝2cos2x＝1＋cos2x，
∴递增区间为2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π.
∴kπ＋π2≤x≤kπ＋π.
∴k＝0时，π2≤x≤π.选D.
答案D
4.解析由T＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f(x)＝sin??????2x－π3，则f(x)的对称轴为2x－π3
＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝5π12＋kπ2(k∈Z)，所以x＝5π12为f(x)的一条对称轴．
答案C
5.解析当0≤x≤9时，－π3≤πx6－π3≤7π6，－32≤sin??????πx6－π3≤1，所以函数的
最大值为2，最小值为－3，其和为2－3.
答案A
6.解析由f(x)＝cosxsin2x知D项显然正确．
∵f(x)＝2sinxcos2x＝2sinx－2sin3x，
令sinx＝t，t∈[－1,1]，∴f(t)＝2t－2t3.
则f′(t)＝2－6t2＝2(1－3t2)，令f′(t)＝0，
∴t＝±33.
∵f(1)＝0，f(－1)＝0，
则f??????33＝2??????33－39＝439.
∴f(x)max＝439，故C项不正确．
将函数换元转化为三次函数求最值是解题关键．
答案C
7.解析T＝2π2＝π.
答案π
8.解析由y＝cos??????π4－2x＝cos??????2x－π4
得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为
??
?
??
?kπ＋π
8，kπ＋
5π
8(k∈Z)
答案??????kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)
9.解析∵y＝cosx的对称中心为
??
?
??
?kπ＋π
2，0(k∈Z)，
∴由2×4π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，
得φ＝kπ－13π6(k∈Z)．
∴当k＝2时，|φ|min＝π6.
答案π6
10.解(1)由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：定义域为
?
??
?
??x???2kπ＋56π≤x≤2kπ＋13π6，k∈Z.
(2)∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3.
∵1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3.
∴f(x)的值域为[0，3]，当x＝2kπ＋3π2，k∈Z时，f(x)取得最大值．
11.解f(x)＝(cosx，－12)·(3sinx，cos2x)
＝3cosxsinx－12cos2x＝32sin2x－12cos2x
＝cosπ6sin2x－sinπ6cos2x＝sin(2x－π6)．
(Ⅰ)f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(Ⅱ)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x－π6＝π2，即x
＝π3时，f(x)取得最大值1，
当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值－12.
因此，f(x)在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.
12.解(Ⅰ)f(x)＝4cosωx·sin(ωx＋π4)＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2
(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有2π2ω＝π，故ω＝1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)＋2.
若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.
当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；
当π2≤2x＋π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．
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