高一数学同步学
名校期末考题每日一练(98)
向量数乘运算及其几何意义
一、基础过关
1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则
()
A．k＝0B．k＝1
C．k＝2D．k＝12
2．已知向量a、b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()
A．B、C、DB．A、B、C
C．A、B、DD．A、C、D
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则()
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
4．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD→＝4BD→＝rAB→＋sAC→，则r－s等于()
A．0B.45C.83D．3
5．若2????y－13a－12(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_________.
6.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→＝______.(填写正
确的序号)
①－BC→＋12BA→；②－BC→－12BA→；
③BC→－12BA→；④BC→＋12BA→.
7.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD
的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
8.如图所示，在?ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，
试用a，b表示MN→.
二、能力提升
9．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m
的值为()
A．2B．3C．4D．5
10．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋
λ
?
?
?
?
?
?AB→
|AB→|
＋AC
→
|AC→|
(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()
A．外心B．内心C．重心D．垂心
11．在四面体O－ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则
OE→＝________(用a，b，c表示)．
12．两个非零向量a、b不共线．
(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．
三、探究与拓展
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD
上，且BN＝13BD.
求证：M、N、C三点共线.
答案
1．D2.C3.D4.C5.421a－17b＋17c6.①
7．证明∵F、G分别是AB、AC的中点．
∴FG→＝12BC→.
同理，EH→＝12BC→.
∴FG→＝EH→.
∴四边形EFGH为平行四边形．
8.MN→＝14(b－a)9.B10．B11.12a＋14b＋14c
12．(1)证明∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→
＝a＋b＋2a＋8b＋3a－3b＝6a＋6b
＝6AB→，∴A、B、D三点共线．
(2)解∵ka＋b与2a＋kb共线，
∴ka＋b＝λ(2a＋kb)．
∴(k－2λ)a＋(1－λk)b＝0，
∴
??
??
?k－2λ＝0，
1－λk＝0?k＝±2.
13．证明设BA→＝a，BC→＝b，则由向量减法的三角形法则可知：CM→＝BM→－BC→＝12BA→－BC→＝
1
2a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴BN→＝13BD→＝13(BC→＋CD→)＝13(a＋b)，
∴CN→＝BN→－BC→＝13(a＋b)－b
＝13a－23b＝23????12a－b，
∴CN→＝23CM→，
又∵CN→与CM→的公共点为C，
∴C、M、N三点共线．
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