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指数和指数函数
2015-06-30 | 阅:
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第11讲§2.1.1指数与指数幂的运算
¤学习目标:理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化,掌握有理数指数幂的运算.
¤知识要点:
1.若,则x叫做a的n次方根,记为,其中n>1,且.n次方根具有如下性质:
(1)在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数;正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数,负数的偶次方根没有意义;零的任何次方根都是零.
(2)n次方根()有如下恒等式:
;;,(a0).
2.规定正数的分数指数幂:();.
¤例题精讲:
【例1】求下列各式的值:
(1)();(2).
解:(1)当n为奇数时,;
当n为偶数时,.
(2).
当时,;当时,.
【例2】已知,求的值.
解:.
【例3】化简:(1);(2)(a>0,b>0);(3).
解:(1)原式=.
(2)原式====.
(3)原式=.
点评:根式化分数指数幂时,切记不能混淆,注意将根指数化为分母,幂指数化为分子,根号的嵌套,化为幂的幂.正确转化和运用幂的运算性质,是复杂根式化简的关键.
【例4】化简与求值:
(1);(2).
解:(1)原式=
===4.
(2)原式=
==.
点评:形如的双重根式,当是一个平方数时,则能通过配方法去掉双重根号,这也是双重根号能否开方的判别技巧.而分母有理化中,常常用到的是平方差公式,第2小题也体现了一种消去法的思想.第(1)小题还可用平方法,即先算得原式的平方,再开方而得.
第11练§2.1.1指数与指数幂的运算
※基础达标
1.化简的结果是().
A.B.C.3D.5
2.下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是().
A.B.C.D.
3.下列各式正确的是().
A.B.C.D.
4.计算,结果是().
A.1B.C.D.
5.化简,结果是().
A.B.C.D.
6.化简的结果是.
7.计算.
※能力提高
8.化简求值:(1);(2).
9.已知=3,求下列各式的值:(1);(2).
※探究创新
10.已知函数,.
(1)判断、的奇偶性;
(2)分别计算和,并概括出涉及函数和对所有不为0的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
第12讲§2.1.2指数函数及其性质(一)
¤学习目标:理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质.
¤知识要点:
1.定义:一般地,函数叫做指数函数(exponentialfunction),其中x是自变量,函数的定义域为R.
2.以函数与的图象为例,观察这一对函数的图象,可总结出如下性质:
定义域为R,值域为;当时,,即图象过定点;当时,在R上是减函数,当时,在R上是增函数.
¤例题精讲:
【例1】求下列函数的定义域:
(1);(2);(3).
解:(1)要使有意义,其中自变量x需满足,即.∴其定义域为.
(2)要使有意义,其中自变量x需满足,即.∴其定义域为.
(3)要使有意义,其中自变量x需满足,即.∴其定义域为.
【例2】求下列函数的值域:
(1);(2)
解:(1)观察易知,则有.∴原函数的值域为.
(2).令,易知.则.
结合二次函数的图象,由其对称轴观察得到在上为增函数,
所以.∴原函数的值域为.
【例3】(05年福建卷.理5文6)函数的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是().
A. B.
C. D.
解:从曲线的变化趋势,可以得到函数为减函数,从而0
0,即b<0.所以选D.
点评:观察图象变化趋势,得到函数的单调性,结合指数函数的单调性,得到参数a的范围.根据所给函数式的平移变换规律,得到参数b的范围.也可以取x=1时的特殊点,得到,从而b<0.
【例4】已知函数.
(1)求该函数的图象恒过的定点坐标;(2)指出该函数的单调性.
解:(1)当,即时,.
所以,该函数的图象恒过定点.
(2)∵是减函数,
∴当时,在R上是增函数;当时,在R上是减函数.
点评:底数两种情况的辨析,实质就是分类讨论思想的运用.而含参指数型函数的研究,要求正确处理与参数相关的变与不变.
第12练§2.1.2指数函数及其性质(一)
※基础达标
1.下列各式错误的是().
A.B.C.D.
2.已知,在下列不等式中成立的是().
A.B.C.D.
3.函数y=ax+1(a>0且a≠1)的图象必经过点().
A.(0,1) B.(1,0)C.(2,1) D.(0,2)
4.设满足,下列不等式中正确的是().
A.B.C.D.
5.世界人口已超过56亿,若千分之一的年增长率,则两年增长的人口可相当于一个().
A.新加坡(270万)B.香港(560万)C.瑞士(700万)D.上海(1200万)
6.某地现有绿地100平方公里,计划每年按10%的速度扩大绿地,则三年后该地的绿地为_____平方公里.
7.函数的定义域为;函数的值域为.
※能力提高
8.已知为不相等的正数,试比较与的大小.
9.若已知函数,.
(1)求函数的图象恒过的定点坐标;(2)求证:.
※探究创新
10.讨论函数的值域.
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第二章基本初等函数
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