《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲第二章平面向量?
39?
第?20?讲?§2.5.1?平面几何中的向量方法¤学习目标：掌握向量理论在平面几何中的初步运用，会用向量知识解决几何问题，能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.?
¤知识要点：几何中经常涉及的两种关系：平行与垂直，与两个几何量：角度与距离，在向量理论中都有相应的描述，这就为问题的解决提供了可能.?一般方法是：（1）首先建立几何与向量之间的联系，实现二者之间
的转化；（2）通过向量（几何形式或坐标形式）的运算，研究几何关系；（3）回归到几何形式下作结论.?¤例题精讲：【例?1】直线l?过点?(3,2)?C?，且垂直于向量?(4,1)?a=r，求直线l?的方程.?
解：设点?(,)?Pxyl?，点?P?与?C?不重合，则?(3,2)?CPxy=--uur，由已知得?0?CPaCPa^?·=uurruurr?.?∴?4(3)20?xy-+-=，即4140?xy+-=?.?又点?C?也满足方程，所以4140?xy+-=为所求.?点评：求谁的方程，设谁的坐标，这是解析几何中求轨迹时常用的方法，然后利用向量垂直关系得
解.?注意：设定点?P与?C?不重合，是为了保证CP?uur必须是非零向量，体现了数学思维的严谨.?【例?2】已知长方形?ABCD，AB=3，BC=2，E为?BC中点，P为?AB?上一点，（1）利用向量知识判定点?P在什么位置时，?45?PEDD=°；（2）若?45?PEDD=°，求证：P、D、C、E四点共圆.?
解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则?(2,0)?C?、?(2,3)?D?、?(1,0)?E?.?设?(0,)?Py?，则?(1,3)?ED=uur，?(1,)?EPy=-uur，
∴?2?10,1?EDEPy==+uuruur，?31?EDEPy·=-uuruur，代入cos45?EDEP?
EDEP°=uuruurguuruur，解得?2?y=（?1?2?y=-舍）.?∴点?P在靠近点?A的?AB的三等分处时，?45?PEDD=°.?
（2）当?45?PEDD=°时，由（1）知?(2,1)?PD=uur，?(1,2)?PE=-uur，所以?0?PDPE·=uuruur，?2?DPEpD=?.?又?2?DCEpD=，∴?D、P、E、C?四点共圆.?
点评：利用坐标形式下的向量处理几何问题的一般步骤为：①建立合理的直角坐标系；②写出相关点的坐标；③利用向量的运算计算结果；④得到结论.?【例?3】用向量法证明：三角形三条高线交于一点.?
证明：设?H?是高线?BE、CF的交点，且设?,,?ABaACbAHh===uurruurruurr，则有BHha=-uurrr，?,?CHhbBCba=-=-uurrruurrr，因为?,?BHACCHAB^^uuruuruuruur，所以()()0?habhba-=-=rrrrrrgg，化简得：?()0?hbaAHBC-=?^rrruuruurg?.?
所以，三角形三条高线交于一点.?点评：涉及到垂直问题一般要用到向量的数量积运算.?通常情况下，用几何形式下的向量解决几何问题时，首先得确定一组基底，而将其它
相关向量进行线性分解.?【例?4】平面直角坐标系中，?O为坐标原点，已知两点?(3,1)?A?，?(1,3)?B-，若点C?满足OCOAOBab=+uuruuruur，
其中?,?Rab?，且?1ab+=，求点C?的轨迹方程．解：设?(,)?Cxy?，依设(,)(3,1)(1,3)?xyab=+-?(3,3)abab=-+．于是{?3?3?x?yabab=-=+?.?
①＋?×2?②得：?25()5?xyab+=+=，于是点C?的轨迹方程为?250?xy+-=．点评：若基础扎实，能由?1ab+=发现C?点在?,?AB?两点确定的直线上，则可利用两点式直接得解.?
y?
x?
D?
C?E?B?
P?A?
H?E?D?B?F?A?
C
|
|
