《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲第三章三角恒等变换?
53?
第?27?讲?§3.1.3?二倍角的正弦、余弦、正切公式（2）¤学习目标:?能推导并熟练应用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的化简、求值和证明.?
¤知识要点：1、倍角公式：?22?sin22sincos?cos2cossinaaaaaa==-?2?2cos1a=-?2?12sina=-；?
2?2tan?tan2?1tanaaa=-；?2、变形公式：?2?1cos2?sin??2aa-=?2?1cos2?cos?2aa+=?.?
¤例题精讲：【例?1】已知?33?cos()(),?4522pppaa+=￡<求cos(2)4pa+的值.?
分析：可由已知求出sin2a及cos2a，再求cos(2).?4pa+解：?33?,cos()0?2245pppaa￡<+=>Q?37535?23.?244422ppppppaaap\<+
2?7?sin2cos(2)12cos()?2425ppaaa=-+=-+=；?2?24?cos21sin?25aa=--=-?.\?2312?cos(2)(cos2sin2)?
4250paaa+=-=-?.?【例?2】已知?2?sincos(0),?2qqqp+=<<求cos2q的值.?
分析：（１）等式两边平方可得；（２）可由特殊角的三角函数值，求出q的值，进而得解.?解：由?2?sincos,?2qq+=两边平方得?1?sin2?2q=-?.?又0,qp<<知sin0?cos0qq>
32?(sincos0)?242ppqqq\<<+=>Q?,?2?33?2,cos21sin?22ppqqq\<<\=--=-?.?【例?3】求函数?y＝?
66?sincos?xx+的最小正周期.?解：?66?sincos?xx+＝(sin?2?x＋cos?2?x)???(?4?sin?x－sin?2?x?cos?2?x＋?4?cos?x)＝(sin?2?x＋cos?2?x)?2?－3?sin?2?x?cos?2?x?
＝1－?3?4?sin?2?x?＝1－?3?4?×?1cos4?2?x-＝?5?8?+?3cos4?8?x?.?∴最小正周期?T＝?2?
4p＝?2p?.?点评：次数之高，似乎不可想象能化简.?结合立方和公式与正弦、余弦的平方关系，将?6?次降为?4?次，利用配方法，并运用倍角公式的变形式，两次降次后而研究其性质.?
【例?4】求?22?7?()53cos3sin4sincos()?424?fxxxxxxpp=+-￡￡的最小值，并求出取得最小值时x的值.?分析：先化简函数，再由正、余弦函数的有界性思考，同时应注意角度的限定范围.?
解：?22?()53cos3sin4sincos?fxxxxx=+-?=?1cos21cos2?5332sin2?22?xx?x+-+-?23cos22sin233?xx=-+?=4cos(2)33?6?xp++?.?
723?,2?424364?xxppppp￡￡\￡+￡Q?,?212?cos(2)cos(2),?26262?xxpp\-￡+￡-+=-.当?()?fx的最小值是3322-；此时?37?2?
6424?xxppp+=?=?.?点评：由三角函数式中既有正弦、余弦的平方，又有正弦、余弦的积，联系倍角公式的结构特征，可先用二倍角公式将函数y降幂，然后用两角和与差的三角函数公式将其化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.
|
|
