《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲第一章解三角形?
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第?2?讲?§1.1.2?余弦定理¤学习目标：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的推导过程，理解余弦定理与勾股定理的关系，并能运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.?
¤知识要点：?1.?余弦定理（law?of?cosines）：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即?
222?2cos?abcbcA=+-，?222?2cos?bcaacB=+-，?222?2cos?cababC=+-?.?2.?余弦定理的变式：?222?cos?2?bca?A?bc+-=，?222?cos?2?acb?B?ac+-=，?222?cos?2?abc?C?ab+-=?.?
2.?应用余弦定理，可以研究两类解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；2知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.?
¤例题精讲：【例1】在?ABCD中，已知?7,3,5?abc===，求最大角和sinC?.?解：∵abc>>，∴?A为最大角，由余弦定理有?
222?1?cos?22?bca?A?bc+-==-，∴?0?12?A=?.?
又∵?3?sin?2?A=，∴?5353?sinsin?7214?c?CA?a==′=?.?【例2】设a?r?=(x
1，y1)?，b?r?=(x2，y2)，a?r与b?r的夹角为q（0≤q≤p），求证：x1x2+y1y2=|a?r?|b?r?|cosq.?证明：如图，设a?r，b?r起点在原点，终点为A，B，则A=(x
1，y1)?，B=(x2，y2)，AB?uur?=b?r-a?r?.?在△ABC中，由余弦定理|b?r-a?r?|?2?=|a?r?|?2?+|b?r?|?2-2|a?r?|b?r?|?cosq.?∵|b?r-a?r?|?
2?=|?AB?uur?|?2?=|(x2-x1，y2-y1)|?2?=(x2-x1)?2?+(y2-y1)?2?，|a?r?|?2?=x1?2?+y1?2?，|b?r?|?2?=x2?2?+y2?2?，∴?(x2-x1)?2?+(y2-y1)?2?=x1?2?+y1?2?+x2?2?+y2?2-2|a?r?|b?r?|?cosq，∴?x
1x2+y1y2=|a?r?|b?r?|cosq，即有a?r?b?r?=?x1x2+y1y2=|a?r?|b?r?|cosq.?【例3】在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.?解法一：∵bcosA＝acosB，∴?222222?
22?bcaacb?ba?bcac+-+-=gg.?∴b?2?＋c?2?－a?2?＝a?2?＋c?2?－b?2?，∴a?2?＝b?2?，∴a＝b，故此三角形是等腰三角形.?
解法二：设?2?sinsinsin?abc?R?ABC===，则b＝2RsinB，a＝2RsinA.?∵?bcosA＝acosB，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB.?∴?sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin（A－B）＝0.?
∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴－π＜AB＜π，∴A－B＝0?即A＝B.?故此三角形是等腰三角形.?
点评：上面两种解法分别是利用余弦定理将角化为边，利用正弦定理将边转化为角.?边角互换是正弦定理和余弦定理的特殊功能，通过将角的关系与边的关系互相转化，从而使许多问题得以解答.?【例4】在△ABC中，?10?ab+=，cosC是方程?
2?2320?xx--=的一个根，求△ABC周长的最小值.?解：∵?2?2320?xx--=，∴?
12?1?2,?2?xx==-?.?又∵cosC是方程?2?2320?xx--=的一个根，∴?1?cos?2?C=-?.?
由余弦定理可得：?2222?1?2()()?2?cabababab=+--=+-g，则?22?10(10)(5)75?caaa=--=-+，
当?5?a=时，c最小且?7553?c==，此时?1053?abc++=+?.?所以，△ABC周长的最小值为1053+?.?
点评：最大（小）值的研究，一般思路是用一个变量表示出所研究目标的函数，通过函数性质得以求解.?这里的目标函数是二次函数，易由配方法而得到最小值.?注意此题中周长的最小等价于边c的最小.
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