《新课标高中数学必修⑤精讲精练》——精讲第三章不等式?
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第?24?讲?§3.3.2?简单的线性规划问题（一）¤学习目标：从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.?
¤知识要点：解答线性规划的应用问题，可遵循如下两大步进行：（1）读题转化：根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数.?反复的读题，读懂已知条件和问题，
边读边进行摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意.?然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.?此步的过程可简述为“读题→列表→列式”?.转化后基本数学模型为：已知?y?，求zpxqy=+的最大（小）值.?其中?,,(1,2,,),,?
iii?abcinpq=×××是常量.?（2）作图求解：作出不等式组所表示可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.?图解法的实质就是数形结合思想的两次运用，第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域，将表示约束条件的不等式组
转化为平面区域这一图形；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.?方程zpxqy=+表示的是与直线?0?pxqy+=平行的直线系，为了探究z?的几何意义时，将目标函数变形为?pz?yx?qq=-+，从而?z?q?为直线系在y?
轴上的截距，观察图形寻找可行域内使其取最大或最小值的点.?此步的过程可简述为“可行域→直线系→最优解”.?¤例题精讲：
【例1】当xy?、满足不等式组?11?0?1?x?yyxì-￡?3í?￡+?时，目标函数txy=+的最大值是（）.?解：作出可行域如右图，
当直线txy=+过点A时，t最大.?由?2?1?x?yx=ìí=+?得点?(2,3)?A?，
所以?max?235?t=+=?.?【例?2】某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱?1?吨需耗一级子棉?2?吨、二级子棉?1?吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900?
元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，能使利润总额最大，并求最大利润.?解：将已知数据列成下表.?
设生产甲、乙两种棉纱分别为?x?吨、y?吨，利润总额为z元，则目标函数z=600x+900y.?
其中?x、y?满足约束条件?230?2250?0,0?xy?xy?xy+￡ì?+￡í?33??.?作出可行域，如右图阴影部分（含边界）.?
把?600900?zxy=+变形为平行直线系?2?:?390?z?lyx=-+?.?由图可知，当?l?经过可行域上的点M时，截距?90?z?最大.?
解方程组?230?2250?xy?xy+=ìí+=?，得M的坐标为?35020?(,)?33?.?当l?过点?35020?(,)?
33?M?时，?max?35020?60901300?33?z=′+′=?.?所以，应生产甲种棉纱?3503?吨，乙种棉纱?203?吨，能使利润总额达最大值130000元.?
点评：以上的列表过程，实质就是读题达意的最佳途径.?根据表格易找出约束条件和目标函数，转化为线性规划问题.?利用图解法求最优解，体现了数形结合思想的优越性.?图解过程中，把平面区域与不等式组的相对应时，一定要通过特值法，细心区分是直线的哪一侧，正确得到可行域；确定可行域中的最优解时，抓住各
直线的斜率进行比较与分析，对我们的观察最优解十分有利.?
产品甲种棉纱（1吨）乙种棉纱（1吨）资源限额（吨）一级子棉（吨）?2?1?300?
二级子棉?1?2?250?利润（元）?600?900?
5050x
y
2x+y=30
x+2y=250
资源消耗量
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