5C50°第23讲圆的有关性质考点1圆的有关概念┃考点自主梳理与热身反馈┃CA对角线的交点对角线的交点对角线长的一半【归纳总结】圆心半径等圆同圆弦弧圆心圆周考点2圆的轴对称性BBD【归纳总结】轴平分垂直考点3圆的旋转不变性DC【归纳总结】相等相等考点4圆周角定理BB【归纳总结】一半相等直角直径【知识树】┃考向互动探究与方法归纳┃探究一利用垂径定理计算30[中考点金]B探究二圆心角和圆周角的综合计算50°[中考点金]┃考题自主训练与名师预测┃ACBBC30°1．下列说法：①弦是直径；②半径相等的圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧但弧不一定是半圆；⑤半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的个数是()[解析]②④⑤正确．2．过()无数矩形的四个顶点到________的距离相等因此矩形的四个顶点在以________为圆心以_______为半径的圆上．1．________确定圆的位置________确定圆的大小．等弧必须是________或________中的弧弧长相等的弧不一定是等弧．直径是________但弦不一定是直径．半圆是________但弧不一定是半圆心角的顶点是________圆周角的顶点在________上．1．如图23－1是⊙O的直径弦CD⊥AB于点E则下列结论：①CE＝DE；BE＝OE；③＝；④＝其中一定正确的有()
图23－1个．个．个．个2．[2013·温州]如图23－2在⊙O中弦AB于点C＝4＝1则OB的长是()
图23－2B.
C.D.
3．如图23－3是石拱桥的示意图桥顶到水面的距离CD为8桥拱半径OC为5则水面宽AB为()
图23－3圆是________对称图形在圆中：①过圆心；________弦(非直径)；③________于弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．若一条直线具备这五项中的任意两项则必得出另外三项．1．在⊙O与⊙O′中若∠AOB＝∠A′O′B′则有()＝>
C.<
D.与的大小关系无法确定2．已知：如图23－4是⊙O的直径是弧BE上的三等分点若∠AOE＝60则∠COE的度数是()
图23－4B．在同圆或等圆中圆心角相等弧________弦相等弦心距________．1．如图23－5点A在⊙O上若∠BOC＝140则∠BAC等于()
图23－5120°D．140°
2．如图23－6是⊙O的直径若∠BAC＝35则∠ADC＝()
图23－6C．70°D．110°
1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________．推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角________；(2)半圆(或直径)所对的圆周角是________的圆周角所对的弦是________．例1某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架(如图23－7)若不计木条的厚度其俯视图如图23－8所示已知AD垂直平分BCD＝BC＝48则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是________
图23－7图23－8
[解析]如图过A三点的⊙O就是圆柱形饮水桶的底面半径取最大值时的情况则圆心O在AD上．
设⊙O的半径为x则OC＝x＝AD－OA＝48－x＝＝24.在中由勾股定理得OC2＝OD＋DC即x＝(48－x)＋24解得x＝30.
利用垂径定理解题时作过圆心的直线或线段构造直角三角形是解题的关键．变式题[2014·黔东南州]如图23－9已知⊙O的直径CD垂直于弦AB垂足为E＝22.5若CD＝6则AB的长为()
图23－9cm
C．2cmD．2cm
例2[2013·黔西南州]如图23－10所示在⊙O中若∠BAC＝∠CDA＝20则∠ABO的度数为________．
图23－10[解析]连接OA由题意得∠AOB＝(∠ADC＋∠BAC)＝80＝OBABO＝∠OAB＝(180－∠AOB)÷2＝50在探索两角的关系时从图形上看它们是圆周角由角找弧”看它们各对应哪段弧再“由弧找角”找到这这种“由角找弧”“由弧找角”的方法是圆中求角相等或弧相等的常用方法．变式题如图23－11在⊙O中是直径是弦(1)已知P是上一点(不与点C重合)求证：∠CPD＝∠COB；(2)当点P′在劣弧CD上(不与点C重合)时与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
图23－11
解：(1)证明：连接OD.是直径＝＝∠DOB＝＝＝∠COB.(2)∠CP′D与∠COB的数量关系是∠CP′D＋∠COB＝180证明：＋CP′D＝180＝∠CPD＋∠COB＝180
1．如图23－12若C为半圆的三等分点则下列说法正确的有()＝＝；＝∠DOC＝∠BOC；＝CD＝OC；沿OD翻折与△COD重合．
图23－12个．个．个．个2．[2014·珠海]如图23－13线段AB是⊙O的直径弦CD⊥AB＝20则∠AOD等于()
图23－13D．3．[2013·厦门]如图23－14在⊙O中＝＝30则∠B＝()
图23－144．[2014·潍坊]如图23－15的顶点A在⊙O上顶点C在⊙O的直径BE上连接AE＝36则∠ADC的度数是()
图23－15°B．54°C．72°D．53°
5．[2014·北京]如图23－16的直径AB垂直于弦CD垂足是E＝22.5＝4的长为()
图23－162B．4C．4D．8
6．[2014·郴州]如图23－17已知A三点都在⊙O上＝60则∠ACB＝________
图23－177．如图23－18分别是⊙O的半径OA上的点且CD⊥OA垂足分别为D＝CE则与的大小关系是________．
图23－18＝
8．[2014·绍兴]把球放在长方体纸盒内球的一部分露出盒外其主视图如图23－19与矩形ABCD的边BC分别相切和相交(E是交点)．已知EF＝CD＝8则⊙O的半径为____________．
图23－199．[2014·无锡]如图23－20是半圆O的直径是半圆O上的两点且OD∥BC与AC交于点E.(1)若∠B＝70求∠CAD的度数；(2)若AB＝4＝3求DE的长．
图23－20解：(1)∵OD∥BC＝∠B＝70＝OD∴∠DAO＝∠ADO＝55是直径＝90＝20＝35(2)在中＝是AB的中点＝＝＝2－
10．[2014·湖州]已知在以点O为圆心的两个同心圆中大圆的弦AB交小圆于点C(如图23－21所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10小圆的半径r＝8且圆心O到直线AB的距离为6求AC的长．
图23－21解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E则CE＝DE＝BE－CE＝BE－DE即AC＝BD.(2)连接OC由(1)可知且OE⊥CD＝＝＝2＝＝＝8＝AE－CE＝8－2
11．[2013·温州]如图23－22为⊙O的直径点C在⊙O上延长BC至点D使DC＝CB延长DA与⊙O的另一个交点为E连接AC(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4－AC＝2求CE的长．
图23－22解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径＝90＝CB＝AB＝∠D.(2)设BC＝x则AC＝x－2.在中＋BC＝AB(x－2)＋x＝4解得x＝1＋＝1－(舍去)．＝∠E＝∠DD＝∠E＝CE.＝BC＝BC＝1＋
1．如图23－23在平面直角坐标系中经过原点O且与x轴轴分别交于B两点若(8，0)，C(0，6)，则⊙A的半径为()
图23－232.如图23－24以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB于点D连接OD若＝则∠DOE＝________．
图23－243．如图23－25是⊙O的直径弦DE垂直平分半径OA为垂足弦DF与半径OB相交于点P连接EF若DE＝2＝45(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．
图23－25解：(1)∵直径AB⊥DE＝＝平分AO＝＝＝90＝30在中＝＝＝2的半径为2.(2)连接OF在中＝45＝90－45＝45＝2∠D＝90阴影＝S扇形OEF－S＝－＝－2.
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