第13讲二次函数的应用考点1二次函数与一元二次方程的关系┃考点自主梳理与热身反馈┃A3【归纳总结】两个不相等的两个相等的没有考点2二次函数的实际应用B【归纳总结】自变量配方【知识树】┃考向互动探究与方法归纳┃探究一二次函数中的最值问题[中考点金]探究二二次函数与一次函数的综合应用[中考点金]┃考题自主训练与名师预测┃DBD1或00.5－11．抛物线y＝－3x－x＋4与坐标轴的交点个数是()如图13－1已知二次函数＝x＋bx＋c的图象经过点A(－1)，B(1，－2)该图象与x轴的另一个交点为C则AC的长为________．
图13－11．抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根之间的关y＝ax＋bx＋c与x轴有公共点公共点的横坐标即为方程____________的解．由抛物线与x轴的位置关系判断一元二次方程的根的情况：(1)当抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴有两个交点时方程ax＋bx＋c＝0有____________实数根；(2)当抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴有一个交点时方程ax＋bx＋c＝0有____________实数根；(3)当抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴无交点时方程ax＋bx＋c＝0________实数根．ax2＋bx＋c＝0
1．向空中发射一枚炮弹经x秒后的高度为y米且高度y(米)与时间x(秒)的关系为y＝ax＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等()第8秒．第10秒第12秒．第15秒2．如图13－2已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米与MN在同一直线上．开始时点A与点N重合令△ABC以每秒2厘米的速度向左运动最终点A与点M重合则重叠部分面积y(平方厘米)与时间t(秒)之间的函数解析式______________．
图13－2y＝2(t－10)2
利用二次函数解决实际问题中的最值问题一般先根据题意建立二次函数解析式并确定______的取值范围然后利用________法求出何时取得最值从而使问题得以解决．例1如图13－3所示矩形ABCD的两边长AB＝18＝4点P分别从A同时出发在边AB上沿AB方向以每秒2的速度匀速运动在边BC上沿BC方向以每秒1的速度匀速运动．设运动时间为x的面积为y(1)求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．
图13－3
[解析]先根据三角形的面积公式列出y关于x的函数解析式然后运用配方法把函数化成顶点式再根据x的取值范围求所得函数的最大值进而解决问题．解：(1)∵S＝＝AB－AP＝18－2x＝x＝(18－2x)x即yx2＋9x(0
在求最值时注意结合二次函数的图象和性质及自变量的取值范围．变式题某种商品的进价为每件50元售价为每件60元每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)．设每件商品的售价上涨x元(x为整数)每个月的销售利润为y元．(1)求y与x之间的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围；(2)当每件商品的售价定为多少时每
解：(1)根据题意＝(60－50＋x)(20010x)，整理得＝－10x＋100x＋2000(0≤x≤12)．(2)y＝－10x＋100x＋2000＝－10(x－5)＋2250所以当x＝5时最大值＝2250.即当每件商品的售价定为65元时每个月可获得最大利润最大利润是2250元．例2如图13－4二次函y＝＋m的图象与y轴交于点C点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象写出满足kx＋b≥＋m的x的取值范围．
图13－4
[解析](1)把A(1)代入y＝(x－2)＋m解得m即可求出二次函数的解析式点C的坐标为(0＋m)再由点B点C关于该抛物线的对称轴对称可B的坐标则直线AB的函数解析式可求；(2)由点B向x轴作垂线当1≤时直线AB上的对应点在抛物线的上方即kx＋b≥(x－2)－1.解：(1)由题意得(1－2)＋m＝0解得m＝－1.二次函数的解析式为y＝(x－2)－1.当x＝0时＝(0－2)－1＝3(0，3)．点B与点C关于直线x＝2对称(4，3)，
于是有
∴一次函数的解析式为y＝x－1.(2)x的取值范围是1≤x≤4.
解二次函数与一次函数的综合题关键要注意交点由交点可求函数解析式由交点可判断函数值的大小．变式题已知直线y＝2x－5与x轴和y轴分别交于点A和点B抛物线y＝－x＋bx＋c的顶点M在直线AB上且抛物线与直线AB的另一个交点为N.(1)如图13－5①当顶点M与点A重合时求：抛物线的函数解析式；点N的坐标和线段MN的长．(2)抛物线y＝－x＋bx＋c的顶点M在直线AB上平移是否存在顶点M使得△OMN与△AOB相似？若存在直接写出顶点M的坐标；若不存在请说明理由．
图13－5
解：(1)①∵直线y＝2x－5与x轴和y轴分别交于点A和点B，B(0，－5)．当顶点M与点A重合时，
∴抛物线的函数解析式是y＝－即y＝－x＋5x－②∵点N在直线y＝2x－5上设N(a－5)．又点N在抛物线y＝－x＋5x－上－5＝－a＋5a－解得a＝＝(舍去)．点N的坐标为过点N作NC⊥x轴垂足为C∵N，∴C，
∴NC＝4＝MO－OC＝－＝2＝＝＝2(2)存在(2，－1)(4，3)．
1．[2014·东营]若函数y＝mx＋(m＋2)x＋＋1的图象与x轴只有一个交点那么m的值为()或2或－2．或－2[2013·苏州]已知二次函数y＝x－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1)，则关于x的一元二次方程x－3x＋m＝0的两实数根是()＝1＝－1．＝1＝2＝1＝0．＝1＝33．[2014·咸宁]用一条长为40的绳子围成一个面积为a的长方形的值不可能为()[2013·贵阳]已知二次函数y＝x＋2mx＋2当x>2时的值随x的增大而增大则实数m的取值范围是________．若函数y＝mx＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点则常数m的值是________．m≥－2
6．如图13－6小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米绳子自然下垂呈抛物线状身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时头部刚好接触到绳子则绳子的最低点距地面的距离为________米．
图13－67.[2014·绍兴]如图13－7的一座拱桥当水面宽AB为12时桥洞顶部离水面4．已知桥洞的拱形是抛物线以水x轴建立平面直角坐标系若选取点A为坐标原点时的抛物线的函数解析式是y＝－(x－6)＋4则选取点B为坐标原点时的抛物线的函数解析式是__________________．
图13－7y＝－(x＋6)＋4
8．[2014·咸宁]科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度
温度t/℃－4 －2 0 1 4 植物高度增长量l/
图13－8科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推________℃.
9．[2014·毕节]某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件每件利润6元．每提高一个档次每件利润增加2元但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其x为正整数且1≤x≤10)求出y关于x的函数解析式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元求该产品的质量档次．解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]整理得y＝－10x＋180x＋400(其中x为正整数且1≤x≤10)．(2)由－10x＋180x＋400＝1120化简得x－18x＋72＝0.配方得(x－9)＝9解得x＝6＝12(不合题意舍去)．所以该产品为第6档次的产品．
10．[2014·滨州]已知二次函数y＝x－4x＋3.(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A的坐标及△ABC的面积．解：(1)y＝x－4x＋3＝x－4x＋4－1＝(x－2)－1.其函数图象的顶点C的坐标为(2－1)．当x<2时随x的增大而减小；当x>2时随x的增大而增大．(2)令y＝0则x－4x＋3＝0解得x＝1＝3当点A在点B左侧时(1，0)，B(3，0)；当点A在点B右侧时(3，0)，B(1，0)．＝＝2过点C作CD⊥x轴于点D则△ABC的面积＝＝＝1.
1．如图13－9已知边长为4的正方形ABCD是边上一动点(与点B不重合)连接AP作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于点E设BP＝x面积为y则y与x之间的函数解析式是()
图13－9y＝2x＋1．＝－2x＝2x－＝2x[解析]用x表示△PCE的面积y的关键是表示出△PCE中PC边上的高．作EF⊥BC于点F根据PE⊥AP且CE为∠BCD的外角平分线可得△ABP∽△PFE可知＝即＝从而得EF＝x.所以y＝(4－x)＝2x－
2．如图13－10在平面直角坐标系中开口向上的抛物线与x轴交于A两点为抛物线的顶点为坐标原点．若OA(OA
图13－10解：(1)解方程x－4x＋3＝0得x＝1或x＝3而OA＜OB则点A的坐标为(－1)，点B的坐标为(3)．过点D作DD轴于点D则D为AB的中点．点D的坐标为(1)．又因为∠DAB＝45＝DD＝2.点D的坐标为(1－2)．设抛物线对应的二次函数解析式为y＝a(x－1)－2.抛物线过点A(－1)，则0＝4a－2得a＝故抛物线对应的二次函数解析式为y＝(x－1)－2
(2)∵CA⊥AD，∴∠DAC＝90又∵∠DAB＝45＝45设点C的坐标为(m)，则有n＝m＋1.点C在n＝(m－1)－2＝m＋1.化简得m－4m－5＝0解得m＝5＝－1(舍去)．故点C的坐标为(5)．(3)由(2)知AC＝6而AD＝2＝＝4过点A作AM⊥CDAC·AD＝＝＝＝S＋S·AC·AD＝＋＋d＝＝24×＝4故d＋d的最大值为4
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