高考数学研究2012浙江1/1
自主招生高一每日一题
2013.12.18
函数(42)—2012浙江
对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的
所有整数a=__________.
【解析】1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1,y=-1
可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，
f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，
即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1,f(-4)=1。
下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，
即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。
欢迎关注北京高考数学研究微信号
|
|
