高考数学研究函数单调性1/9
2015一轮复习经典——（6）
高端视野:函数单调性
【练1】已知实数a＞0，且a≠1，函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上是减函数，函数g(x)＝ax
＋
1
ax，则下列选项正确的是()
A．g(－3)＜g(2)＜g(4)B．g(－3)＜g(4)＜g(2)
C．g(4)＜g(－3)＜g(2)D．g(2)＜g(－3)＜g(4)
【练2】若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
【练3】(2014年湖北八校联考)已知函数f(x)＝
3－ax
a－1(a≠1).
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．[来源:学科网]
【练4】(2014年济南模拟)已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f(x)
－2x]＝3，则f(3)的值是()
A．3B．7
C．9D．12
【练5】已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f??
?
??
?1
3的x取
值范围是________．
【练6】函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调
减区间是_______．
【练7】下列函数：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；
④y＝2－|x|.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是
________．
【练8】已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，则不
等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集为________．
【练9】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y＝f(x)是减函数，
若|x1|＜|x2|，则结论：①f(x1)－f(x2)＜0；②f(x1)－f(x2)＞0；③f(x1)＋f(x2)
＜0；④f(x1)＋f(x2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．
【练10】函数f(x)＝log2(x2－1)的单调减区间为________．
【练11】(2014·广东模拟)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()
A．y＝ln(x＋2)B．y＝－x＋1
高考数学研究函数单调性2/9
C．y＝(12)xD．y＝x＋1x
【练12】函数f(x)＝1－
1
x－1()
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递减
【练13】(2014·浙江模拟)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数，则()
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＞b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＜b
C．若ea－2a＝eb－3b，则a＞b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a＜b
【练14】函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
【练15】(2014·沈阳第二次质量监测)设在给定区间内，函数f(x)，g(x)都是单调函
数，有如下四个命题：
①若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)－g(x)是增函数；
②若f(x)是增函数，g(x)是减函数，则f(x)－g(x)是增函数；
③若f(x)是减函数，g(x)是增函数，则f(x)－g(x)是减函数；
④若f(x)是减函数，g(x)是减函数，则f(x)－g(x)是减函数．
其中正确的命题是________．
【练16】函数f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内递减，则a的取值范围是
()
A．a≥3B．a≤3
C．a≥－3D．a≤－3
【练17】函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()
A．(－∞，32]B．[32，＋∞)
C．(－1，32]D．[32，4)
高考数学研究函数单调性3/9
【练18】(2014·北京东城联考)已知函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，g(x)
＝－f(|x|)，若g(lgx)>g(1)，则x的取值范围是()
A．(10，＋∞)B.??????110，10
C．(0,10)D.??????0，110∪(10，＋∞)
【练19】(2014·郑州模拟)已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋
f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()
A．一定大于0B．一定小于0
C．等于0D．正负都有可能
【练20】(2014·乐陵一中月考)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且
f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为()
A．{x|－11}
B．{x|x<－1或0
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|－1
【练21】若函数f(x)＝
4x
x2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m
∈__________.
【练22】已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的
取值范围是()．
A．??????0，34B．??????0，34
C．??????0，34D．??????0，34
【练23】(2014·南昌模拟)已知函数y＝f(x)的图像关于x＝1对称，且在(1，＋∞)
上单调递增，设a＝f??
?
??
?－1
2，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为
()．
高考数学研究函数单调性4/9
A．c＜b＜aB．b＜a＜c
C．b＜c＜aD．a＜b＜c
【练24】(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是()．
A．y＝cosxB．y＝－|x－1|
C．y＝ln2＋x2－xD．y＝ex＋e－x
【练25】已知函数f(x)＝
x2＋a
x(a＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围___．
【练1】解析：由函数y＝loga|x|在(－∞，0)上为减函数，可得a＞1，故g(－3)－g(2)＝(a
－1)×
a5－1
a3＞0?g(－3)＞g(2)，又g(4)－g(－3)＝(a－1)×
a7－1
a4＞0?g(4)＞g(－3)，
故有g(4)＞g(－3)＞g(2)．
答案：D
【练2】解析：利用函数图象确定单调区间．
f(x)＝|2x＋a|＝
?
??
2x＋a，x≥－a2，
－2x－a，x<－a2.
作出函数图象，由图象(图略)知：
函数的单调递增区间为????－a2，＋∞，
∴－a2＝3，∴a＝－6.
答案：－6
【练3】解析：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤
3
a，即此时函数f(x)的定义域是
????－∞，
3
a；
高考数学研究函数单调性5/9
(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1
当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0.综上所述，
所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
答案：(1)????－∞，3a(2)(－∞，0)∪(1,3]
【练4】解析：由题意知，对任意x∈R，都有f[f(x)－2x]＝3，不妨令f(x)－2x＝c，其中c
是常数，则f(c)＝3，∴f(x)＝2x＋c.再令x＝c，则f(c)＝2c＋c＝3.即2c＋c－3＝0.易
得2c与3－c至多只有1个交点，即c＝1.∴f(x)＝2x＋1，∴f(3)＝23＋1＝9.
答案：C
【练5】解析由题意可知|2x－1|＜
1
3，解得
1
3＜x＜
2
3.
答案??????13，23
【练6】解析∵0＜a＜1，∴u＝logax在(0，＋∞)上为减函数，根据复合函数的
单调性及图象知，若f(x)为增函数，则
g(x)为减函数，故0≤logax≤12，∴a≤x≤1，
∴单调减区间为[a，1]．
答案[a，1]
【练7】解析y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上是减函数．
答案②
【练8】解析由f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
及f(1－x)＋f(1－x2)＜0，
得f(1－x)＜－f(1－x2)，
所以f(1－x)＜f(x2－1)．
又因为f(x)在(－1,1)上是减函数，
所以
??
?－1＜1－x＜1，
－1＜1－x2＜1，解得0＜x＜1.
1－x＞x2－1.
故原不等式的解集为(0,1)．
答案(0,1)
高考数学研究函数单调性6/9
【练9】解析由题意，得f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，
从而由0≤|x1|＜|x2|，得f(|x1|)＜f(|x2|)，即f(x1)＜f(x2)，f(x1)－f(x2)＜0，只
能①是正确的．
答案①
【练10】答案(－∞，－1)
【练11】解析：B、C在(0，＋∞)上为减函数，D在(0,1)上减，(1，＋∞)上增．故
选A.
答案：A
【练12】解析：画出函数f(x)＝1－
1
x－1的图象，从图象上可观察到该函数在(－∞，
1)和(1，＋∞)上单调递增，故选B.
答案：B
【练13】解析：考查函数y＝ex＋2x为单调增函数，若ea＋2a＝eb＋2b，则a＝b；
若ea＋2a＝eb＋3b>eb＋2b，∴a>b.故选A.
答案：A
【练14】解析：函数f(x)的定义域为(－
1
2，＋∞)，
令t＝2x＋1(t＞0)．
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在(－12，＋∞)上为增函
数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为(－12，＋∞)．
答案：(－12，＋∞)
【练15】解析：由于两个单调性相同的函数的和函数的单调性不变，且函数y＝
－f(x)与y＝f(x)在同一单调区间内的单调性相反，则可知命题②和③是正
确的，故填②③.
答案：②③
【练16】解析由题意知－2a≥6，得a≤－3.
答案D
【练17】解析要使函数有意义需4＋3x－x2>0，
解得－1
高考数学研究函数单调性7/9
∴定义域为(－1,4)．
令t＝4＋3x－x2＝－(x－32)2＋254.
则t在(－1，32]上递增，在[32，4)上递减．
又y＝lnt在(0，254]上递增，
∴f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间为[32，4)．
答案D
【练18】解析∵g(x)＝－f(|x|)，∴函数g(x)＝－f(|x|)为偶函数，∵函数
f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴当x≥0时，g(x)＝－f(|x|)＝－
f(x)，此时为减函数，∴当x≤0时，函数g(x)＝－f(|x|)单调递
增．∵g(lgx)>g(1)，∴－1≤lgx≤1，解得
1
10≤x≤10，即??
?
??
?1
10，10，
选B.
答案B
【练19】解析∵x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，
∴x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1.
∴f(x1)>f(－x2)＝－f(x2)，
即f(x1)＋f(x2)>0，
f(x2)>f(－x3)＝－f(x3)，即f(x2)＋f(x3)>0.
f(x3)>f(－x1)＝－f(x1)，即f(x3)＋f(x1)>0，
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0，故选A.
答案A
高考数学研究函数单调性8/9
【练20】解析∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，
x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而有
函数f(x)的图象如图，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|
－1
答案D
【练21】解析∵f′(x)＝
4?1－x2?
?x2＋1?2，令f′(x)＞0得－1＜x＜1，
∴f(x)的增区间为(－1,1)．
又∵f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，∴
??
??
?m≥－1，
2m＋1≤1.
∴－1≤m≤0.
∵区间在(m,2m＋1)上，
∴隐含2m＋1＞m，即m＞－1.
综上，－1＜m≤0.
答案(－1,0]
【练22】解析当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，
由
??
??
?a＞0，
－
4?a－3?
4a≥3，
得0＜a≤
3
4.
综上，a的取值范围是0≤a≤34.
答案D
高考数学研究函数单调性9/9
【练23】解析∵函数图像关于x＝1对称，∴a＝f??
?
??
?－1
2＝f??
?
??
?5
2，又y＝f(x)在(1，
＋∞)上单调递增，
∴f(2)＜f??????52＜f(3)，即b＜a＜c.
答案B
【练24】解析对于A，结合余弦函数的图像可知，y＝cosx在[－1,0]上是增函
数；对于B，注意到当x＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因
此函数y＝－|x－1|在[－1,0]上不是减函数；对于C，注意到函数y＝ln
2＋x
2－x＝ln??
?
??
?－1＋4
2－x在[－1,0]上是增函数；对于D，当x∈[－1,0]时，y′
＝ex－e－x≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，选D.
答案D
【练25】解析法一任取2＜x1＜x2，由已知条件f(x1)－f(x2)＝
x21＋a
x1－
x22＋a
x2＝(x1
－x2)＋
a?x2－x1?
x1x2＝
?x1－x2??x1x2－a?
x1x2＜0恒成立，即当2＜x1＜x2时，x1x2
＞a恒成立，又x1x2＞4，则0＜a≤4.
法二f(x)＝x＋ax，f′(x)＝1－ax2＞0得f(x)的递增区间是(－∞，－a)，(a，
＋∞)，由已知条件得a≤2，解得0＜a≤4.
答案(0,4]
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