高考数学研究二次函数1/10
2015一轮复习经典——（10）
高端视野:二次函数
【练1】二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是()
A．－4B．4C．－2D．2
【练2】已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是()
A．f(－2)
C．f(0)
【练3】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝???
??g?x?＋x＋4，x
g?x?－x，x≥g?x?，则f(x)的值域是()
A.????－94，0∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)
C.????－94，＋∞D.????－94，0∪(2，＋∞)
【练4】若二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c的值域是[0，＋∞)，则a＋c的最小值为________．
【练5】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．
【练6】当x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．
【练7】(2013·镇安中学)二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的
值是()．
A．－4B．4
C．－2D．2
【练8】(2014·西安检测)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和
(3,0)，则函数f(x)()．
A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B．在(－∞，3)上递增
C．在[1,3]上递增
D．单调性不能确定
【练9】设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()．
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【练10】二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)，且f(x)＝0有两个实根x1，
x2，则x1＋x2＝________.
【练11】(2013·南昌检测)已知函数y＝－x2＋4ax在区间[1,3]上单调递减，则实数
a的取值范围是________．
【练12】已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点
右侧，则实数m的取值范围是()．
A．(0,1)B．(0,1]
C．(－∞，1)D．(－∞，1]
【练13】(2013·重庆卷)?3－a??a＋6?(－6≤a≤3)的最大值为()
A．9B.92
C．3D.322
【练14】(2014·陕西榆林期末)设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的
图象为下列之一，则a的值为()
A．1B．－1
C.－1－52D.－1＋52
【练15】(2014·江南十校联考)已知函数f(x)＝???
??x2＋4x，x≥0，
4x－x2，x＜0.若f(2－
a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
高考数学研究二次函数3/10
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【练16】(2014·西城模拟)若二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且
f(a)≤f(0)
【练17】若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4，
0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．
【练18】(2014·温州测试)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个
交点分别位于原点两侧，则a，b，c的取值范围是()
A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b<0，c>0D．a<0，b>0，c<0
【练19】函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)<0，则a的取值范围是()
A．a≤0B．a<－4
C．－4
【练20】(能力题)设m∈R，f(x)＝x2－x＋a(a＞0)，且f(m)＜0，则f(m＋1)的值()
A．大于0B．小于0
C．等于0D．不确定
【练21】(2014·福州质检)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，
且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()
A．(－∞，0]B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]
【练22】已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)
的值域为________．
【练23】(2014·江苏模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，
若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
【练24】当a＝________时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]，值域为[－
2,2]．
【练25】f(x)＝x2＋2ax＋a2＋b，当f(x)在区间(－∞，1]上为减函数时，a的取值范
围为________；若x∈R，恒有f(x)≥0，则b的取值范围为________；若
f(x)为偶函数，则a＝________.
高考数学研究二次函数4/10
【练26】某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入
营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润
y(单位：万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数
的关系如图所示，则每辆客车营运________
年，使其营运年平均利润最大．
【练27】已知函数f(x)＝x2＋1的定义域为[a，b](a
值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围
成的图形面积为________．
【练28】已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为??
?
??
?－3
2，49，且方程f(x)＝0的两个实
根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．
【练1】解析：二次函数的图象顶点在x轴上，∴Δ＝0，
可得t＝－4.
答案：A
【练2】解析：∵f(1＋x)＝f(－x)，
∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c.
∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c.
∴2＋b＝－b，即b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝12.
∴f(0)
答案：C
高考数学研究二次函数5/10
【练3】解析：令x0，解得x<－1或x>2；
令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.
故函数f(x)＝
??
??
?x2＋x＋2，x<－1或x>2，
x2－x－2，－1≤x≤2.
当x<－1或x>2时，函数f(x)>(－1)2＋(－1)＋2＝2；
当－1≤x≤2时，函数f????12≤f(x)≤f(－1)，
即－94≤f(x)≤0.
故函数f(x)的值域是????－94，0∪(2，＋∞)
答案：D
【练4】解析：由已知a>0，
4ac－4
4a＝0，
∴ac＝1，c>0.
∴a＋c≥2ac＝2.当且仅当a＝c＝1时，取等号．
∴a＋c的最小值为2.
答案：2
【练5】解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
当a>1时，ymax＝a；
当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；
当a<0时，ymax＝1－a.
根据已知条件：
??
??
?a>1，
a＝2，或???
??0≤a≤1，
a2－a＋1＝2或???
??a<0，
1－a＝2，
解得a＝2，或a＝－1.
答案：2或－1
【练6】解析：由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0知0≤y≤
1
2，
令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，
∴t＝3????y－232＋23.[来源:学&科&网]
在????0，12上递减，当y＝12时，t取到最小值，tmin＝34.
答案：34[来源:学#科#网]
【练7】解析二次函数图像的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解
得t＝－4.
高考数学研究二次函数6/10
答案A
【练8】解析由已知可得该函数的图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞
0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
答案A
【练9】解析由A，C，D知，f(0)＝c＜0.
∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－b2a＞0，
知A，C错误，D符合要求．
由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－b2a＜0，B错误．
答案D
【练10】解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝3对称，应
有
x1＋x2
2＝3?x1＋x2＝6.
答案6
【练11】解析根据题意，得对称轴x＝2a≤1，所以a≤
1
2.
答案??????－∞，12
【练12】解析用特殊值法．令m＝0，由f(x)＝0得x＝
1
3适合，排除A，B.令m
＝1，由f(x)＝0得x＝1适合，排除C.
答案D
【练13】解析?3－a??a＋6?＝－a2－3a＋18＝
－?a＋32?2＋814，当a＝－32时，?3－a??a＋6?取得最大值92.
答案B
【练14】解析由b>0，排除图象①②；若a>0，则－
b
2a<0，排除图象
④；由图象③得???
??a<0，
a2－1＝0，即a＝－1.故选B.
答案B
高考数学研究二次函数7/10
【练15】解析函数f(x)＝???
??x2＋4x，x≥0，
4x－x2，x＜0的图象如图．
知f(x)在R上为增函数．
故f(2－a2)＞f(a)，即2－a2＞a.
解得－2＜a＜1.
答案C
【练16】解析由题意知，抛物线f(x)开口向下，对称轴为x＝2，又f(0)
＝f(4)，∴a≤0或a≥4.
答案(－∞，0]∪[4，＋∞)
【练17】解析设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1，
当x＝1时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1，
∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.
答案y＝－x2＋2x＋8
【练18】解析：由题意，抛物线开口向下，故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分
别位于原点两侧，得ac<0，∴c>0.再由顶点在第一象限得－
b
2a>0，∴b>0.
答案：B
【练19】解析：当a＝0时，f(x)＝－1在R上恒有f(x)<0；
当a≠0时，∵f(x)在R上恒有f(x)<0，
高考数学研究二次函数8/10
∴???a<0，a2＋4a<0，∴－4
综上可知：－4
答案：D
【练20】解析：函数f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝
1
2，f(0)＝a，
∵a＞0，∴f(0)＞0，由二次函数的对称性可知f(1)＝f(0)＞0.
∵抛物线的开口向上，
∴由图象可知当x＞1时，恒有f(x)＞0.
∵f(m)＜0，∴0＜m＜1.
∴m＞0，∴m＋1＞1，
∴f(m＋1)＞0.
答案：A
【练21】解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)
＝2a(x－1)＜0，x∈[0,1]，所以a＞0，即函数图象的开口向上，对称轴
是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
答案：D
【练22】解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，
∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，
即a－1＝－2a，∴a＝13.
∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，
即f(－x)＝f(x)，∴b＝0，
∴f(x)＝13x2＋1，x∈[－23，23]，
其值域为{y|1≤y≤3127}．
高考数学研究二次函数9/10
答案：{y|1≤y≤3127}
【练23】解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋
a
2)2＋b－
a2
4的最小值为b－
a2
4，
∴b－a
2
4＝0，即b＝
a2
4.
∴f(x)＜c，即x2＋ax＋b＜c，则(x＋a2)2＜c，
∴c＞0，且－a2－c＜x＜－a2＋c，
∴(－a2＋c)－(－a2－c)＝6，
∴2c＝6，∴c＝9.
答案：9
【练24】解析f(x)＝(x－a)2＋a－a2.
当a＜－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，
所以???
f?－1?＝1＋3a＝－2，
f?1?＝1－a＝2?a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，???
f?a?＝a－a2＝－2，
f?1?＝1－a＝2?a＝－1；
当0＜a≤1时，???f?a?＝a－a
2＝－2，
f?－1?＝1＋3a＝2?a不存在；
当a＞1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，
所以???
f?－1?＝1＋3a＝2，
f?1?＝1－a＝－2?a不存在．
综上可得a＝－1.
答案－1
【练25】解析f(x)在(－∞，1]上递减，
则x＝－a≥1，即a≤－1；
若x∈R，f(x)≥0恒成立，则Δ≤0，故b≥0；
若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故a＝0.
答案a≤－1b≥00
高考数学研究二次函数10/10
【练26】解析由题设y＝a(x－6)2＋11，过点(4,7)，得a＝－1.
∴y＝－(x－6)2＋11，则每年平均利润为yx＝－??????x＋25x＋12≤－10＋12，当且
仅当x＝5时，取“＝”．
答案5
【练27】解析由题意，得??
?a＝－2，
0≤b≤2或??
?－2
b＝2，所以动点(a，b)的轨迹与
两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，面积为4.
答案4
【练28】解析设二次函数的解析式为：
f(x)＝a??????x＋322＋49(a≠0)，
方程a??????x＋322＋49＝0的两个根分别为x1，x2，
则|x1－x2|＝2－49a＝7.
∴a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.
答案f(x)＝－4x2－12x＋40
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