高考数学研究函数图像变换1/7
2015一轮复习经典——（17）
高端视野:函数图像变换
【练1】已知函数
1
3
3(1)()
log(1)
xx
fxxx???????
?
，则函数y＝f(1－x)的图象大致是()
【练2】直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
【练3】已知函数f(x)＝???
??2x，x≥2，
?x－1?3，x<2.
若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实
数k的取值范围是________．
【练4】函数f(x)＝???
??log3x，x>0，
cosπx，x<0的图象上关于y轴对称的点共有()
A．0对B．1对C．2对D．3对
【练5】设方程3x＝|lg(－x)|的两个根为x1，x2，则()
A．x1x2＜0B．x1x2＝1
C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1
【练6】(2013·青岛一模)函数y＝21－x的大致图像为()．
【练7】(2014·新余模拟)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图像是()．
【练8】函数y＝(x－1)3＋1的图像的对称中心是________．
【练9】(2013·河南三市调研)若实数x，y满足y＝??
?
??
?1
e|x－1|，则y关于x的函数图
像的大致形状是()．
高考数学研究函数图像变换2/7
【练10】函数y＝log2|x|的图象大致是()
【练11】(2013·北京卷)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图
象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()
A．ex＋1B．ex－1
C．e－x＋1D．e－x－1
【练12】函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝???
??2－x－1?x≤0?，
f?x－1??x>0?，若方程f(x)
＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为()
A．(－∞，1)B．(－∞，1]
C．(0,1)D．(－∞，＋∞)
【练13】函数f(x)＝
x＋1
x图象的对称中心为________．
【练14】(2014·佛山模拟)函数y＝1－|x－x2|的图象大致是()
【练15】(2014·济南模拟)函数y＝loga(|x|＋1)(a>1)的大致图象是()
高考数学研究函数图像变换3/7
【练16】(2014·西安五校联考)对于定义域为R的函数f(x)，给出下列命题：
①若函数f(x)满足条件f(x－1)＋f(1－x)＝2，则函数f(x)的图象关于点(0,1)对
称；
②若函数f(x)满足条件f(x－1)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于y轴对称；
③在同一坐标系中，y＝f(x)和y＝f(－x)的图象关于y轴对称，则函数y＝f(x
－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称；
④在同一坐标系中，y＝f(x)和y＝f(－x)的图象关于y轴对称，则函数y＝f(1
＋x)与y＝f(1－x)的图象关于y轴对称．
其中真命题的个数是()
A．1B．2
C．3D．4
【练17】已知f(x)是偶函数，则f(x＋2)的图象关于________对称；已知f(x＋2)是
偶函数，则函数f(x)的图象关于________对称．
【练18】设函数f(x)定义域为R，则下列命题中①y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)
的图象关于y轴对称；②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于
直线x＝2对称；③若f(x－2)＝f(2－x)，y＝f(x)的图象关于直线x＝2对
称；④y＝f(x－2)和y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．其中正确的命
题序号是________(填上所有正确命题的序号)．
【练19】设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列命题：
①b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；
②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；
③方程f(x)＝0至多有两个实根．
上述三个命题中所有正确命题的序号为________．
高考数学研究函数图像变换4/7
【练1】解析：由f(x)＝???
??3
x?x≤1?
log
1
3x?x>1?
，得f(1－x)＝???
??3
1－x?x≥0?
log
1
3?1－x??x<0?
.
因此，x≥0时，y＝f(1－x)为减函数，且y>0；x<0时，y＝f(1－x)为增函数，且y<0.故选C.
答案：C
【练2】解析：如图，作出y＝x2－|x|＋a的图象，若要使y＝1与其有4个交点，则需满足
a－
1
4<1
5
4.
答案：????1，54
【练3】解析：当x<2时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，说明函数在(－∞，2)上单调递增，函数的
值域是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞]上单调递减，函数的值域是(0,1]．因此要使
方程f(x)＝k有两个不同的实根，则0
答案：(0,1)
【练4】解析：因为y＝cosπx是偶函数，图象关于y轴对称．
所以，本题可转化成求函数y＝log3x与y＝cosπx图象的交点个数的问题．
作函数图象如图，可知有三个交点，即函数f(x)图象上关于y轴对称的点有3对．
答案：D
【练5】解析：函数y＝3x与函数y＝|lg(－x)|的图象如图所示，由图示可设x1＜－1＜x2＜0，
则0＜3x1＜3x2＜1，
且
??
??
?3x1＝lg?－x1?，
3x2＝－lg?－x2?，可得[来源:Zxxk.Com]
3x1－3x2＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝lgx1x2，
高考数学研究函数图像变换5/7
∵3x1－3x2＜0，∴0＜x1x2＜1，故应选D.
答案：D
【练6】解析y＝21－x＝??
?
??
?1
2x－1，因为0＜
1
2＜1，所以y＝??
?
??
?1
2x－1为减函数，取x＝
0时，则y＝2，故选A.
答案A
【练7】解析易知f(x)为偶函数，故只考虑x＞0时f(x)＝lg(x－1)的图像，将函
数y＝lgx图像向x轴正方向平移一个单位得到f(x)＝lg(x－1)的图像，再
根据偶函数性质得到f(x)的图像．
答案B
【练8】解析y＝x3的图像的对称中心是(0,0)，将y＝x3的图像向上平移1个单
位，再向右平移1个单位，即得y＝(x－1)3＋1的图像，所以对称中心为
(1,1)．答案(1,1)
【练9】解析∵y＝??
?
??
?1
e|x－1|，∴它的图像是将y＝??
?
??
?1
e|x|＝???
????????1ex?x≥0?，
ex?x＜0?，
的图像向
右平移一个单位得到的，故选B.
答案B
【练10】解析函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，
图象关于y轴对称，故选C.
答案C
【练11】解析与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，再将y＝e
－x向左平移一个单位长度即为y＝f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)
＝e－x－1.
答案D
【练12】解析x≤0时，f(x)＝2－x－1，
0
f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
故x>0时，f(x)是周期函数，如下图所示．
高考数学研究函数图像变换6/7
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直
线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)，
故选A.答案A
【练13】解析f(x)＝
x＋1
x＝1＋
1
x，把函数y＝
1
x的图象向上平移1个单
位，即得函数f(x)的图象．由y＝
1
x的对称中心为(0,0)，可得平
移后的f(x)图象的对称中心为(0,1)．
答案(0,1)
【练14】解析：由y＝1－|x－x2|≤1结合图象可得C正确．
答案：C
【练15】解析：由y＝logax(a>1)向左平移1个单位得到y＝loga(x＋1)的图象，再
作y轴对称得y＝loga(|x|＋1)的图象．
答案：B
【练16】解析：f(x－1)＋f(1－x)＝2，用x＋1代替上式中的x得f(x)＋f(－x)＝2，
设(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，则(x0，y0)关于点(0,1)的对称点(x1，y1)满
足
??
??
?x0＋x1＝0，
y0＋y1
2＝1，
所以??
?x0＝－x1，
y0＝2－y1，故f(－x1)＋f(x1)＝2，故①正确；f(x
－1)＝f(1－x)，用x＋1代替上式中的x得f(x)＝f(－x)，故函数y＝f(x)为
偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；y＝f(x－1)的图象和y＝f(1－x)
的图象可看成分别由y＝f(x)和y＝f(－x)向右平移1个单位得到，而y＝
f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，故y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象
关于直线x＝1对称，故③正确；函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y
轴对称，把y＝f(x)和y＝f(－x)的图象分别向左、向右平移一个单位后得
到y＝f(x＋1)和y＝f(1－x)的图象，仍关于y轴对称，故④正确．
答案：D
高考数学研究函数图像变换7/7
【练17】解析：∵f(x＋2)可由f(x)图象左移2个单位得到，故f(x＋2)的图象关于x
＝－2对称；
∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，
即x＝2是对称轴．
答案：x＝－2，x＝2
【练18】解析：对于①，y＝f(x＋2)关于x＝－2对称；对于②，；
对于③，当f(2＋x)＝f(2－x)时，f(x)的图象关于x＝2对称，而当f(2－x)
＝f(x－2)时，则应关于x＝0对称．对于④，.
答案：②④
【练19】解析①f(x)＝x|x|＋c＝??
?x2＋c?x≥0?，
－x2＋c?x＜0?，
如图甲，曲线与x轴只有一个交点，所以方程f(x)＝0只有一个实数根，正确．
②c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，显然是奇函数．
③当c＝0，b＜0时，
f(x)＝x|x|＋bx＝???
x2＋bx?x≥0?，
－x2＋bx?x＜0?.
如图乙，方程f(x)＝0可以有三个实数根．
综上所述，正确命题的序号为①②.
答案①②
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