高考数学研究三角函数的图象与性质1/9
2015一轮复习经典——（49）
三角函数的图象与性质
1．[2014·韶关调研]如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(4π3，0)中
心对称，那么|φ|的最小值为()
A.π6B.π3
C.5π6D.π12
2．[2014·玉溪模拟]函数y＝2sin(π6－2x)(x∈[0，π])的增区间是()
A．[0，π3]B．[π12，7π12]
C．[π3，5π6]D．[5π6，π]
3．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝5π3对称，则实数a
的值为()
A．－3B．－33
C.2D.22
4.
[2014·福建福州模拟]函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，
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该函数的部分图象如图所示，点A，B分别为该部分图象的最高点与
最低点，且这两点间的距离为42，则函数f(x)图象的一条对称轴的
方程为()
A．x＝π4B．x＝π2
C．x＝4D．x＝2
5．[2014·青岛模拟]函数f(x)＝12cos(ωx＋φ)对任意的x∈R，都有f(π3－
x)＝f(π3＋x)，若函数g(x)＝3sin(ωx＋φ)－2，则g(π3)的值是()
A．1B．－5或3
C．－2D.12
6．若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(|φ|<π2)与g(x)＝cos(ωx－π6)(ω>0)的图象具
有相同的对称中心，则φ＝()
A.π6B.π3
C．－π3D．－π6
7．设函数f(x)＝3sin(π2x＋π4)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x
∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
8．[2014·西城区模拟]已知函数f(x)＝sin(2x＋π6)，其中x∈[－π6，a]．当
a＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是[－12，1]，则a的取
值范围是________．
9．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其
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图象关于直线x＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，
0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，
0]上是增函数，所有正确结论的编号为________．
10．[2014·金华模拟]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，A>0,0<φ<π2)
的周期为π，f(π4)＝3＋1，且f(x)的最大值为3.
(1)写出f(x)的表达式；
(2)写出函数f(x)的对称中心，对称轴方程．
11．[2014·河北质检]设函数f(x)＝sin(πx3－π6)－2cos2πx6.
(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]
时，函数y＝g(x)的最大值．
12．已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x＋π6)＋2a＋b，当x∈[0，π2]时，
－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f(x＋π2)且lg[g(x)]>0，求g(x)的单调区间．
高考数学研究三角函数的图象与性质4/9
1.解析：函数关于点(4π3，0)中心对称，则有3cos(2×4π3＋φ)＝0，即
cos(8π3＋φ)＝0，∴cos(2π3＋φ)＝0，即2π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝－
π
6＋kπ，k∈Z，∴当k＝0时，|φ|＝
π
6，此时|φ|最小．
答案：A
2.解析：y＝2sin(π6－2x)＝－2sin(2x－π6)，由π2＋2kπ≤2x－π6≤32π＋2kπ，
k∈Z，解得π3＋kπ≤x≤56π＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[π3＋kπ，56π
＋kπ]，k∈Z，∴k＝0时，增区间为[π3，56π]，选C项．
答案：C
3.解析：由函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝5π3对称，可知
f(5π3)＝±a2＋1，可求得a＝－33.故选B.
答案：B
4.解析：由题意知|AB|＝42，
即最值之差为4，故T2＝4，T＝8，
所以f(x)＝2cos(π4x＋φ)(0<φ<π)，
又f(x)＝2cos(π4x＋φ)(0<φ<π)为奇函数，f(0)＝0，
故φ＝π2，令π4x＋π2＝kπ，k∈Z，
得x＝－2＋4k，k∈Z，
故x＝2是一条对称轴．故选D.
答案：D
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5.解析：由f(π3－x)＝f(π3＋x)知此函数的对称轴为x＝π3，
∴π3ω＋φ＝kπ，k∈Z，∴sin(π3ω＋φ)＝0，
∴g(π3)＝3sin(π3ω＋φ)－2＝0－2＝－2.
答案：C
6.解析：由于两函数的对称中心相同，即两函数周期相同，故ω＝2，
从而g(x)＝cos(2x－π6)，其中一个对称中心为(π3，0)．据题意(π3，0)也
是y＝2sin(2x＋φ)的对称中心，由对称中心的几何意义可得2sin(2π3＋
φ)＝0，又|φ|<π2，故φ＝π3.
答案：B
7.解析：f(x)＝3sin(π2x＋π4)的最小正周期T＝2π×2π＝4，f(x1)，f(x2)应分
别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为T2＝2.
答案：2
8.解析：若－π6≤x≤π3，
则－π3≤2x≤2π3，－π6≤2x＋π6≤5π6，
此时－12≤sin(2x＋π6)≤1，
即f(x)的值域是[－12，1]．
若－π6≤x≤a，
则－π3≤2x≤2a，－π6≤2x＋π6≤2a＋π6.
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∵当2x＋π6＝－π6或2x＋π6＝7π6时，
sin(2x＋π6)＝－12，
∴要使f(x)的值域是[－12，1]，
则有π2≤2a＋π6≤7π6，即π3≤2a≤π，
∴π6≤a≤π2，即a的取值范围是[π6，π2]．
答案：[－12，1][π6，π2]
9.解析：∵T＝π，∴ω＝2.
又2×π12＋φ＝kπ＋π2，∴φ＝kπ＋π3.
∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y＝sin(2x＋π3)．
由图象及性质可知②④正确．
答案：②④
10.解：(1)因T＝π，∴ω＝2，最大值为3，
∴A＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，
∵f(π4)＝3＋1，
∴2sin(π2＋φ)＋1＝3＋1，
∴cosφ＝32.
∵0<φ<π2，∴φ＝π6.
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∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1.
(2)由f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1，
令2x＋π6＝kπ，得x＝kπ2－π12(k∈Z)，
∴对称中心为(kπ2－π12，1)(k∈Z)，
由2x＋π6＝kπ＋π2，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，
∴对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．
11.解：(1)由题意知f(x)＝32sinπx3－32cosπx3－1＝3·sin(πx3－π3)－1，所
以y＝f(x)的最小正周期T＝2ππ
3
＝6.
由2kπ－π2≤π3x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得6k－12≤x≤6k＋52，k∈Z，
所以y＝f(x)的单调递增区间为[6k－12，6k＋52]，k∈Z.
(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以当x∈
[0,1]时，y＝g(x)的最大值即为x∈[3,4]时，y＝f(x)的最大值，
当x∈[3,4]时，π3x－π3∈[23π，π]，sin(π3x－π3)∈[0，32]，f(x)∈[－1，12]，
即此时y＝g(x)的最大值为12.
12.解：(1)∵x∈[0，π2]，
∴2x＋π6∈[π6，7π6]．
高考数学研究三角函数的图象与性质8/9
∴sin(2x＋π6)∈[－12，1]，
又∵a>0，
∴－2asin(2x＋π6)∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin(2x＋π6)－1，
g(x)＝f(x＋π2)＝－4sin(2x＋7π6)－1＝4sin(2x＋π6)－1，
又由lg[g(x)]>0，得g(x)>1，
∴4sin(2x＋π6)－1>1，
∴sin(2x＋π6)>12，
∴2kπ＋π6<2x＋π6<2kπ＋5π6，k∈Z，
其中当2kπ＋π6<2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ
＋π6，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋π6]，k∈Z.
又∵当2kπ＋π2<2x＋π6<2kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，
即kπ＋π6
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∴g(x)的单调减区间为(kπ＋π6，kπ＋π3)，k∈Z.
综上，g(x)的递增区间为(kπ，kπ＋π6](k∈Z)；递减区间为(kπ＋π6，kπ
＋π3)(k∈Z)．
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