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| 2015一轮复习经典（76）—正弦定理和余弦定理 |
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高考数学研究正弦定理和余弦定理1/5
2015一轮复习经典——（76）
正弦定理和余弦定理
1．(2014广东湛江十校联考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已
知b＝2，B＝30°，C＝15°，则a等于()
A．22B．23
C.6－2D．4
2．(2014安阳模拟)已知△ABC的一个内角是120°，三边长构成公差为4的等差数列，
则三角形的面积是()
A．103B．303
C．203D．153
3．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形状是()
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
4．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差
数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC等于()
A.2B.3
C.32D．2
5．(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b等于()
A．10B．9
C．8D．5
6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是()
A.4003米B.40033米
C．2003米D．200米
二、填空题
7．(2012年高考北京卷)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________.
高考数学研究正弦定理和余弦定理2/5
8．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且
a2－c2＝ac－bc，则A＝________.
9．(2014四川外国语学校月考)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，B＝π3，
且sinA∶sinC＝3∶1，则bc的值为________．
10．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝(cosC，2a－c)，b＝(b，
－cosB)，且a⊥b，则B＝______.
三、解答题
11.如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，
B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D
点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为
60°，AC＝0.1km.
(1)试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离会相等？
(2)求B、D的距离．
1.解析：A＝180°－30°－15°＝135°，
由正弦定理asinA＝bsinB，得a2
2
＝21
2
，
即a＝22.故选A.
答案：A
2.解析：设A、B、C所对边长分别为b－4，b，b＋4，
则cos120°＝?b－4?
2＋b2－?b＋4?2
2×?b－4?×b，
∴b2－10b＝0，
∴b＝10或b＝0(舍去)，
∴b＝10，b－4＝6，
高考数学研究正弦定理和余弦定理3/5
∴三角形的面积S＝12×10×6×32＝153.故选D.
答案：D
3.解析：由条件得sinAcosB·sinC＝2，
即2cosBsinC＝sinA.
由正、余弦定理得，2·a
2＋c2－b2
2ac·c＝a，
整理得c＝b，故△ABC为等腰三角形．
故选D.
答案：D
4.解析：∵A、B、C成等差数列，
∴A＋C＝2B，∴B＝60°.
又a＝1，b＝3，
∴asinA＝bsinB，
∴sinA＝asinBb＝32×13＝12，
∴A＝30°，∴C＝90°.
∴S△ABC＝12×1×3＝32.故选C.
答案：C
5.解析：由题意知，23cos2A＋2cos2A－1＝0，
即cos2A＝125，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以cosA＝15.
在△ABC中，由余弦定理知72＝b2＋62－2b×6×15，
即b2－125b－13＝0，
即b＝5或b＝－135(舍去)，
故选D.
答案：D
6.解析：如图所示，AB为山高，
CD为塔高，
高考数学研究正弦定理和余弦定理4/5
则由题意知，在Rt△ABC中，
∠BAC＝30°，AB＝200米．
则AC＝ABcos30°＝40033(米)．
在△ACD中，∠CAD＝60°－30°＝30°，∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝120°.
由正弦定理得CDsin30°＝ACsin120°，
∴CD＝ACsin30°sin120°＝4003(米)．
故选A.
答案：A
7.解析：由已知根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB
得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，
即：15b－60＝0，得b＝4.
答案：4
8.解析：由题意知b2＝ac，
∵a2－c2＝ac－bc，
∴a2－c2＝b2－bc，
即b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝b
2＋c2－a2
2bc＝
1
2，
∴A＝π3.
答案：π3
9.解析：sinA∶sinC＝a∶c＝3∶1，
∴a＝3c.
由余弦定理
cosπ3＝a
2＋c2－b2
2ac＝
1
2，
∴10c
2－b2
6c2＝
1
2，
7c2＝b2，
∴b
2
c2＝7，
高考数学研究正弦定理和余弦定理5/5
∴bc＝7.
答案：7
10.解析：由a⊥b，得a·b＝bcosC－(2a－c)cosB＝0，
利用正弦定理，可得
sinBcosC－(2sinA－sinC)cosB＝
sinBcosC＋cosBsinC－2sinAcosB＝0，
即sin(B＋C)＝sinA＝2sinAcosB，
因为sinA≠0，故cosB＝12，因此B＝π3.
答案：π3
11.解：(1)如图所示，在△ADC中，
∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
∴CD＝AC＝0.1km，
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠CED＝90°，
∴CB是△CAD底边AD的中垂线，
∴BD＝BA.
(2)在△ABC中，∠ABC＝75°－60°＝15°，
由正弦定理得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，
∴AB＝0.1·sin60°sin15°＝32＋620(km)，
∴BD＝32＋620(km)．
故B、D间的距离是32＋620km.
有问题反馈到北京高考数学研究QQ：2777676594
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