高考数学研究异面直线角度1/2
AB
CD
A1B
1
C1D1
E
F
立体几何——（7）
高端视野:异面直线的角度
我们把过一点而与两条异面直线分别平行并且具有相同方向的两条射线所组成的角度
叫做两条异面直线所成的角。
异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）
来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节。
基本步骤：
(1)找出或作出有关角的图形；
(2)证明它符合定义；
(3)求角．
【例1】S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
且?ASB＝?BSC＝?CSA＝
2?
，M、N分别是AB和SC的中点．
求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．
【解析】连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
BN＝a
25
NQ＝21SM＝
42
aBQ＝a
414
∴COS∠QNB＝
5102222????NQBNBQNQBN
【例2】如图，在正方体1111DCBAABCD?中，E、F分别是1BB、CD的中点．
求AE与FD1所成的角。
【解析】取AB中点G，连结A1G，FG，
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,
∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。
B
M
A
N
C
S
B?
A?
AB
C?D?
CD
FE
高考数学研究异面直线角度2/2
【例3】如图的正方体中，E是A′D′的中点
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?
(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；
(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；
(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值
【解析】(1)∵A??平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且B?CC′,
∴直线BA′与CC′是异面直线
同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′
成异面直线
(2)∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角
∵∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°
(3)∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角
在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝AEAA??＝21，所以AE和CC′所成角的正切值是21
(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝
∥
A?B?＝
∥
AB,
∴ABFE是平行四边形，从而BF＝
∥
AE,即BF∥AE且BF=AE.
∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角
设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为
A′B＝22，A′F＝BF＝5，由余弦定理得：
cos∠A′BF＝
5105222)5()5()22(222?????
【说明】(1)如图1—29，单独画出△A?BF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清
楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法；
(2)解法中用余弦定理求cos∠A?BF,其实有更简单方法，请找出简单方法
(3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案?
欢迎关注北京高考数学研究微信号
A?B
F
M
(图1－29)
55
|
|
