高考数学研究动点问题1/3
立体几何——（12）
高端视野:动点问题
在高考试题中，经常考查立体几何中的动点问题，在立体几何中常见的动点问题大致可
分为以下几类：一是求动点轨迹问题；二是求动点与某点（或面）的距离问题；三是求直线
与直线（或平面）垂直问题；四是求直线与直线（或平面）平行问题；五是平面与平面垂直
问题。举例说明这几个问题的解法。
一、求动点轨迹问题
这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。
【例1】如图，定点A和B都在平面?内，定点??P，??PB，C是?内异于A和B
的动点，且ACPC?。那么，动点C在平面?内的轨迹是（）
A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点
C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点
【解析】由三垂线定理的逆定理得
∵AC⊥PC且PC在?内的射影为BC，
∴AC⊥BC.∴∠ACB=900.
∴C点的轨迹为以AB为直径圆，但除去A、B两点.
二、动点与某点（面）的距离问题
【例2】正方体1111DCBAABCD?中，棱长为a，E是1AA的中点，
在对角面DDBB11上找一动点M，使AM+ME最小.
【解析】,,,11BBBBDBBACBDAC?????.11DDBBAC面??
设AC∩BD=O，则AO=CO．∴平面DDBB11是线段AC的垂直平分
面，
∴C是A关于平面DDBB11的对称点。连CE交面DDBB11于M，
则M就是要求的点，这时AM+ME最小。又AM=CM,
∴AM+ME的最小值就是CE的长，而
2412222aaAEACCE????=a23,此时AM+ME的最小值为a23．
简评：本题先证明平面DDBB11是线段AC的垂直平分面，然后利用C是A关于平面DDBB11
的对称点，所以AM=CM,AM+ME的最小值，即为CM+ME的最小值，即CE的长，所以
M点为CE和平面DDBB11的交点。
三、直线与平面（或直线）垂直问题
【例3】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，
BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.
【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，
例1题图
?
AB
C
P
O
E
例2题图
AB
CD
A1
C1D1
B1
M
高考数学研究动点问题2/3
0，0）、B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，21，
1），从而).2,0,3(),0,1,3(???PBAC设PBAC与的夹角为θ，则
,1473723||||cos?????PBACPBAC?
∴AC与PB所成角的余弦值为
1473
.
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，
故可设N点坐标为（x，O，z），则
)1,21,(zxNE???，由NE⊥面PAC
可得，
??
???
???
??
???
???
?
????
????
??
???
??
??
.0213
,01
.0)0,1,3()1,21,(
,0)2,0,0()1,21,(
.0
,0
x
z
zx
zx
ACNE
APNE化简得即∴
??
???
?
?
1
6
3
z
x
即N点的坐标为)1,0,
63(
，从而N点到AB、AP的距离分别为1，
63
.
简评：本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算
能力.由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），然后利用NE⊥面PAC，
有
??
???
??
??
.0
,0
ACNE
APNE求得动点N的坐标为)1,0,63(.
四、直线与平面（或直线）平行问题
【例4】如图，已知在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=600，PA=AC=a，
PB=PD=2a点E在PD上，且PE：ED=2：1.在棱PC上有一动点F，当动点F
移动到何处时，使BF∥平面AEC？证明你的结论。
【解析】由题意知PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，
过点A垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系。则A（0，0，0）、B（
23
a，
-21a，0）、C（
23
a，21a，0）、D（0，a，0）、P（0，0，a）、E（0，32a，31a），所
以AE=（0，32a，31a），PC=（
23
a，21a，-a），BP=（-
23
a，21a，a），AC=
（
23
a，21a，0），AP=（0，0，a），设点F是棱PC上的点，
PF=λPC=（23aλ，21aλ，-aλ），其中0<λ<1,则PFBPBF??
x
A
BC
P
D
E
F
z
y
例4题图
D
E
例3题图（1）
AB
C
P
N
z
x
y
O
D
E
例3题图（2）
AB
C
P
高考数学研究动点问题3/3
=（-
23
a，21a，a）+（
23
aλ，21aλ，-aλ）
=（
23
a（λ-1），21a（1+λ），a（1-λ））.令BF=λ1AC+λ2AE,
则
时，即
2
1,
2
3,
2
1,
2
1
3
1)1(
,
3
2
2
1)1(
2
1
,
2
3)1(
2
3
21
2
21
1
??????
?
?
?
?
??
?
?
?
??
???
??
????
??
???
??
aa
aaa
aa
.2321AEACBF???
此时,F为棱PC的中点.又BF?平面AEC，所以当F是棱的中点时，BF∥平面AEC.
简评：本题主要考查共面向量定理，令BF=λ1AC+λ2AE,由题意得到
.2321AEACBF???又BF?平面AEC，说明BF∥平面AEC.此时F为棱PC的中点.
五、平面与平面垂直问题
【例5】如图，在正三棱锥A—BCD中，∠DAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH
分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.设P是棱AD上的动点，当AP为
何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.
【解析】作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH.
∴.面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=
23
a.
简评：本题主要考查面面垂直的判定，作CP⊥AD找
到P点，使AD⊥面BCP.由HG∥AD得到HG⊥面BCP，
进而得到面BCP⊥面EFGH，从而求得AP=
23
a.
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B
C
例5题图
P
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