高考数学研究抛物线综合1/6
解析几何——（27）
高端视野:抛物线综合
【例1】如图所示，直线1l和2l相交于点M，1l⊥2l，点1lN?，以A、B为端点的曲线段
C上的任一点到2l的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，
7?AM，3?AN，且6?BN，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以2l为准线的抛物线的一段，所以本题
关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以1l为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．
由题意，曲线段C是N为焦点，以2l为准线的抛物线的一段，
其中A、B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C满足的抛物线方程为：
),0,)(0(22?????yxxxppxyBA其中Ax、Bx为A、B的
横坐标
令,pMN?则)0,2(),0,2(pNpM?，3,17??ANAM?
∴由两点间的距离公式，得方程组：
???
???
?
???
???
92)2(
172)2(
2
2
AA
AA
pxpx
pxpx
解得
????
?14
Ax
p或
????
?22
Ax
p
∵△AMN为锐角三角形，∴
Axp?2
，则4?p，1?Ax
又B在曲线段C上，4262??????pBNx
B
则曲线段C的方程为).0,41(82????yxxy
【例2】如图所示，设抛物线)10(22???ppxy与圆9)5(22???yx在x轴上方的交点
为A、B，与圆27)6(22???yx在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为
CD的中点．（1）求PQ．（2）求△ABQ面积的最大值．
分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、
Q两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ．
解：（1）设
),(),,(),,(),,(),,(),,(2211yxQyxPyxDyxCyxByxADDCCBBAA
高考数学研究抛物线综合2/6
由
????
?
?
???
pxy
yx
2
9)5(
2
22得：016)5(22????xpx，
PxxxBA?????521
2
1
9
8)5(2
2
2
2
2
2
)(
2
2
2
pp
p
p
xxxx
p
xx
pyy
y
BABA
BA
BA
??
???
???
??
?
?
由
????
?
?
???
pxy
yx
2
27)6(
2
22得09)6(22????xpx，
pxxxDC?????622
)(2222DCDCxxpyyy????
同1y类似，229ppy??
则0,12121????yyxx，1?PQ
（2）
BABAAPQABQxxPyyPQSSSBPQ??????????2221
)1(821022pppP?????
10??p?，∴当21?p时，ABQS?取最大值21．
【例3】已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点
)0,1(?A和点)8,0(B关于直线l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方
程．
分析：设出直线l和抛物线C的方程，由点A、B关于直线l对称，求出对称点的坐标，分
别代入抛物线方程．或设???OxB''，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．
解法一：设抛物线C的方程为pxy22?)0(?p，直线l的方程为kxy?)0(?k，
则有点)0,1(?A，点)8,0(B关于直线l的对称点为),(11''yxA、),(22''yxB，
则有
???
???
?
????
???
,11
,212
1
1
11
kxy
xky
解得
???
???
?
?
??
?
??
;12
,11
21
2
2
1
k
ky
k
kx
高考数学研究抛物线综合3/6
???
???
?
????
???
,18
,228
2
2
22
kxy
xky
解得
???
???
?
?
??
??
.1)1(8
,116
2
2
2
22
k
ky
k
kx
如图，''A、''B在抛物线上
∴
?
?
?
???
?
????
?
?
???
?
.1162)1()1(64
,112)1(4
222
22
2
2
22
2
k
kp
k
k
k
kp
k
k
两式相除，消去p，整理，得012???kk，故
251??k
，
由0?p，0?k，得
251??k
．把
251??k
代入，得
552?p
．
∴直线l的方程为xy
251??
，抛物线C的方程为xy
5542?
．
解法二：设点A、B关于l的对称点为),(11''yxA、),(22''yxB，
又设???OxB''，依题意，有1''??OAOA，8''??OBOB．
故?cos82?x，?sin82?y．
由???90BOA，知???90''''OAB．
∴??sin)90cos(1????x，??cos)90sin(1?????y．
又01?x，02?x，故?为第一象限的角．
∴)cos,(sin''???A、)sin8,cos8(''??B．
将''A、''B的坐标代入抛物线方程，得
????
?
?
?
.cos16sin64
,sin2cos
2
2
??
??
p
p
∴??33cossin8?，即21tan??从而
55sin??
，
552cos??
，
∴
552?p
，得抛物线C的方程为xy
5542?
．
又直线l平分OBB''?，得l的倾斜角为??????452290???．
高考数学研究抛物线综合4/6
∴
251sin1cos)90cos(1)90sin()452tan(??????????????????k
．
∴直线l的方程为xy
251??
．
说明：
(1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，
但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它
的技巧性较强，一时难于想到．
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这
种方法是最常规方法，需要重点掌握．
【例4】如图，正方形ABCD的边AB在直线4??xyl：上，C、D两点在抛物线xy?2
上，求正方形ABCD的面积．
分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，
以及分析问题、解决问题的能力．
解：∵直线4??xyAB：，CDAB//，∴设CD的方程为bxy??，且),(11yxC、
),(22yxD．
由方程组
??
????bxyxy2，消去x，得02???byy，于是
121??yy，byy?21，∴21211yykCD???(其中1?k)
∴)41(24)(221221byyyyCD??????．
由已知，ABCD为正方形，ADCD?，
∴CD可视为平行直线AB与CD间的距离，则有
24bCD??
，于是得
24)41(2bb???
．
两边平方后，整理得，01282???bb，∴6??b或2??b．
当6??b时，正方形ABCD的面积50)241(22????CDS．
当2??b时，正方形ABCD的面积18)81(22????CDS．
∴正方形ABCD的面积为18或50．
高考数学研究抛物线综合5/6
说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终
的方法，本题应充分考虑正方形这一条件．
【例5】设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，
当此彗星离地球为410?dkm时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为
?30，求这彗星与地球的最短距离．
分析：利用抛物线有关性质求解．
解：如图，设彗星轨道方程为pxy22?，0?p，焦点为)0,2(pF，
彗星位于点),(00yxP处．直线PF的方程为)
2(33pxy??
．
解方程组
??
???
??
?
),2(33
,22
pxy
pxy得
2)347(px??
，
故
2)347(0px??
．
ppppxPF)324(|22)347(|332|2|3320???????．
故dp??)324(，得dp
232??
．
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点．焦点
到抛物线顶点的距离为dp
4322??
，所以彗星与地球的最短距离为410
432??dkm
或
410432??dkm，（P点在F点的左边与右边时，所求距离取不同的值）．
说明：
(1)此题结论有两个，不要漏解；
高考数学研究抛物线综合6/6
(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：
设),(00yxP为抛物线pxy22?上一点，焦点为)0,2(pF，准线方程为2px??，依抛物
线定义，有22
0pxpPF???)0(0?x
，当00?x时，PF最小，故抛物线上到焦点距离
最近的点是抛物线的顶点．
【例6】如图，抛物线顶点在原点，圆xyx422??的圆心是抛物线
的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物
线与圆依次为A、B、C、D四点，求CDAB?的值．
分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解
决问题的能力，本题的关键是把CDAB?转化为直线被圆锥曲线所
截得的弦长问题．
解：由圆的方程xyx422??，即4)2(22???yx可知，圆心为)0,2(F，半径为2，又
由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为)0,2(F，设抛物线方程为xy82?，
BCADCDAB???
∵BC为已知圆的直径，∴4?BC，则4???ADCDAB．
设),(11yxA、),(22yxD，∵FDAFAD??，而A、D在抛物线上，
由已知可知，直线l方程为)2(2??xy，于是，由方程组
??
????).2(2,82xyy消去y，得0462???xx，∴621??xx．
∴1046???AD，因此，6410????CDAB．
说明：本题如果分别求AB与CD则很麻烦，因此把CDAB?转化成
4???ADBCAD是关键所在，在求AD时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避
免了一些繁杂的运算．
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