高考数学研究圆锥曲线统一1/2
解析几何——（28）
高端视野:圆锥曲线统一
椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，统一定义：平面内与一个定点F和一条定直
线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当01e??时，轨迹是椭圆；当1e?时，轨迹是双曲
线；当1e?时，轨迹是抛物线．其中，点F是曲线的焦点，直线l是对应于焦点F的曲线
的准线，e为离心率．
圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，如能
巧妙运用统一定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决．
【例1】已知椭圆方程为221
1612xy??
，右焦点为F，(21)A，为其内部一点，P为椭圆上一
动点，求P点坐标，使2PAPF?最小．
解：如图，由题意得
4a?，23b?，
∴2c?，12cea??，
由统一定义知2PF即为P到右准线的距离，
因此，要使2PAPF?最小，P点除了应在y轴
的右侧外，还要使AP与过P点且与准线垂直的线共线
即可，
由221
11612
y
xy
???
????
?
，
，
，解得P点坐标为2331
3??????，
．
【例2】点M与点(02)F?，的距离比它到直线:30ly??的距离小1，求点M的轨迹方程．
解：由题意可知，点M与点(02)F?，的距离和它到直线2y?的距离相等，根据定义知，
轨迹是抛物线．因此22p?，∴28p?，故点M的轨迹方程是28xy??．
【例3】在平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)mxyyxy??????表示的曲线为椭
圆，则m的取值范围为（）．
Ａ．(01)，Ｂ．(1)??，Ｃ．(05)，Ｄ．(5)??，
解：已知等式可变形为
22
22
(1)5
23
1(2)
xy
mxy
???
??
??
，此式可看成点()xy，到定点(01)?，的距离
高考数学研究圆锥曲线统一2/2
与到直线230xy???的距离之比为常数5
m
，由统一定义知51
m?
，所以5m?，故
答案为Ｄ．
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