高考数学研究圆锥曲线极坐标统一1/5
解析几何——（29）
高端视野:圆锥曲线极坐标统一
椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)
的距离的比等于常数e的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂
足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：??cos1eep??.
其中p是定点F到定直线的距离，p＞0．
当0＜e＜1时，方程表示椭圆；
当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就
表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若1+cosepe???
则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆
当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线
当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2）若1-sinepe???
当0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向上的抛物线
当e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sinepe???
高考数学研究圆锥曲线极坐标统一2/5
当0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向下的抛物线
当e＞1时，方程表示极点在下焦点的双曲线
【例1】确定方程1053cos????表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：
310
253
331cos1cos
55
?
??
?
??
??
31053eP???，
2
3325
558
5101510
3383
caca
a
bacc
c
???????
????????
??????
??????????
2225155()()882b????
31554e??方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长
圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦MN经过焦点F
1、椭圆中，cbccap22???，
????222
2
cos2)cos(1cos1caabeepeepMN???????
.
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
若M、N在双曲线同一支上，
????222
2
cos2)cos(1cos1caabeepeepMN???????
；
若M、N在双曲线不同支上，
222
2cos2cos1cos1acabeepeepMN??????????.
3、抛物线中，
????2sin2)cos(1cos1pppMN??????
【例1】过椭圆22154xy??的焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O
为坐标原点，求AOB?的面积．
简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式
222||1cosepABe???
求弦长，然后利用公式
高考数学研究圆锥曲线极坐标统一3/5
B1|B|||sin2AOSAOFAFO???
直接得出答案。
【练1】已知点F为椭圆2212xy??的左焦点.过点F的直线1l与椭圆交于P、Q两点，过
F且与1l垂直的直线2l交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和
最大值.
解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：
2
2
21cos
2
?
?
?
?
设直线1l的倾斜角?，则直线2l的倾斜角为090??，由极坐标系中焦点弦长公式知：
2
2||1
1cos2PQ???
，
202
22||11
1cos(90)1sin22MN???????
用他们来表示四边形的面积
1||||2SPQMN?22111sincos
24??
??2111sin2
216?
??
即求
2
111
sin2216??
的最大值与最小值
由三角知识易知：当sin21???时，面积取得最小值169；当sin20??时，面积取得最大
值2
利用弦长公式解决常量问题
【例1】过椭圆)0(1
2
2
2
2????babyax的左焦点F，作倾斜角为60的直线l交椭圆于A、
B两点，若FBFA2?，求椭圆的离心率.
简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为??cos1epe??则
00240cos1,60cos1epeFBepeFA????
，
∴
21
2
21e
peepe
????，解得32?e；
【练1】求过椭圆23cos????的左焦点，且倾斜角为4?的弦长AB和左焦点到左准线的
距离。
高考数学研究圆锥曲线极坐标统一4/5
解：先将方程??化为标准形式：
2
31
1cos3
?
?
?
?
则离心率13e?，23ep?，
2p??
所以左焦点到左准线的距为2。
设
125(,),(,)44AB????
，代入极坐标方程，则弦长
12
22245
173cos3cos44AB???????????
定值问题
【例1】抛物线22(0)ypxp??的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：11ab?定
值。
解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cosp????，
设(,),(,)AaBb????
将A,B两点代入极坐标方程，得,1cos1cos()ppab????????
则11ab?=1cos1cos()pp???????=2p（定值）
点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有
epNFMF211??
【例2】经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证11ABCD?为定值。
证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为??cos1eep??，又设
????112343A,,B,+,C,+,D,+22???????????????????????则代入可得
222||1cosepABe???
，
222||1sinepABe???
则
高考数学研究圆锥曲线极坐标统一5/5
2112-e=
ABCD2ep?
【例3】中心在原点O的椭圆221
3627xy??
，点F是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点
123P,P,P使0122331120PFPPFPPFP???∠∠∠．
证明：
213
111FPFPFP??为定值，并求此定值．
解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos????，设点1P对应
的极角为?，则点2P与3P对应的极角分别为0120??、0120??，1P、2P与3P的极径就
分别是1||FP?92cos??、2||FP?
092cos(120)???
与3||FP?
092cos(120)???
，因
此
213
111FPFPFP???002cos2cos(120)2cos(120)999??????????，而在三角函
数的学习中，我们知道00coscos(120)cos(120)0????????，因此
213
11123FPFPFP???为定值
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