2002年第9期中学数学月刊·27·
等差数列存在等比子数列的条件
文E13初步讨论了等差数列存在等比子
数列的条件．文EIJ末尾作者提出下列问题：
等差数列存在等比子数列的充要条件是什
么?下面的定理1解决了这个问题．本文用
{a}表示等差数列，其公差≠0．又本文中
的等差数列和等比数列均指无穷数列．
定理1等差数列{a}存在等比子数列
的充要条件是是有理数．
证明必要性：设{a}存在等比子数列，
它的第+1，歹+1，志+1项是等比子数列的
相邻三项，0≤i
1+jd)=(口1+)(口1+走)．
整理得
(+志一2j)a1一(--ik)d．(1)
若+志一2j=0，由(1)，J--ik一0，则
j2=ik一()z，
．
‘
．i=j=k，这是不可能的．
．
·
．等一是有理数．
充分性：设是有理数．当≥一÷(s是
互质的正整数)时，记q=?nS+1，其中∈
N+，取子数列{n。}，其中n。一1，当志≥2，n-一
1+，，．(1+．q+q+…+q卜。)，则有+一
+mrq卜d．下面证明一g．
“H
当志一1，一…alq-mrd1+
an
I口1Ⅱ1“1
一，s+1=q(由a~一了r刘rd—)
．
假定当志≥1，一g，则
‘‘
口
H2
n
Hl
+mrqd
一dg。n
川口n+
．．对一切志∈N+，一g，{n}是{n}
的等比子数列，公比g=，+1．
当al是负有理数或零时，必存在，∈
N+，使一al+，是正有理数．考查{n}
的子数列
aⅢ+1，a，H+2，…，a，H+H，…(2)
由前面的证明，数列(2)有等比子数列，
显然它也是数列{a}的等比子数列．
推论1若{a}存在等比子数列，则等
比子数列的公比q是正有理数．
证明设al一了r，，．，是互质的整数
．等
比子数列的相邻两项是a…，a』+。，O≤<歹，
则
a1．，．．
aaL+jdj’s+J
一一一r+i一
，．+si‘
．
。
．q是有理数．
当d>O，{a}最多有有限个非正项，当d
<0，{a}最多有有限个非负项．因之当，歹
充分大时，n…，n+，同号，g一>0．
注1由定理1及推论，在讨论存在等
比子数列的等差数列{a}时，可假定a。与d
同号．否则，可以去掉{a}前面有限项．
定理2若等差数列{an}满足一÷，，．，
是互质的整数且是正整数，则{a}的任意
等比子数列的公比g=，s+1，∈N+．
证明不妨设a与d同号，从而是
互质的正整数．
先证明g≥2是正整数．
·
．
．
al一了r，．·．存在a≠0，nrot，=a，
数列{a}就是(下转第42页)
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·42·中学数学月刊2002年第9期
即是z，Y的函数，记为z(x，)，并记
x(y，6)为给定Y时，使z=b的．在△AVE，
△F，△FVG，△GVA中利用余弦定理得
E一z一12+48，
J。。。。。。。。_。_''___●●--_。。。。。。。。。。。。。●_____-_。。。。。。。。。。。。一
EF一√z。+一~／3xy，
●—_。●--。。。。。。。。。。。。。。。。。__''_●●__。。。。。。。。。。。_。。_^___一
EG=√+。一~／3yz，
GA一。一12+48，
于是截面四边形的周长
f—AE+EF+FG+GA．
注意到是，Y的函数，C也是，Y的
函数，记为C(，)，于是我们的问题化归为
下面的非线性规划问题：
rainC(z，)，
S．t0≤≤4~／3，
(，)≤≤()，
这’里(j，)一max{0，z(，4~／3)}，()一
min{43，(j，，0)}．可以用非线性规划的
相关算法求出该问题的解，这显然已经超出
了对中学生的要求，我们不再求解了．
探究这道题的来历，我们发现它是从下
面的习题引申而来：
侧棱长z的正三棱锥V—ABC，AVB=
BC一CVA一30。，过作截面ADE与
棱分别交于点D，E，则截面三角形ADE的
周长的最小值为．
由于是三棱锥，，D，E三点总可以决定
一个平面，所以利用侧面展开图立刻求出最
小值为~／2．
一引申就出现了比漏，这也就提醒我
们，在引申时最重要的是不犯科学性错误．
其实，利用侧面展开图去求周长的方法
是很常用的，希望学生能够掌握．如果本题去
掉，E，F，G四点在同一个平面的限制，将
题目改为“从点拉一条绳子绕正四棱锥的
侧面再回到点，求绳子的最小长度”就是
一道无可挑剔的好题．
(上接第27页)
7，(r+)口，(r+2s)口，…，(7一+ns)，…
(3)
设(3)有等比子数列{n}，其首项是(，斗
ls)a，公比是q，由推论，g一是正有理数，这
里，是互质的正整数．下面证明一1．
若≥2，则存在t∈N+，使1、(r+ls)，
这样{日}的第(f+1)项是(r+ls)a·(詈)一
笋，·．．，(+厶)r，它不是的整数
倍，不可能是(3)的一项，这就证明了一1，
．．．q一“是正整数．显见g≥2．
下面证明q一，+1．设{日。}的相邻两项
是{日}的第i+1，+1项，0≤<．由推论的
证明知g一器，．·．r+一g(，‘+s)，(g一1)，
一(—g)s．．．．sl(g一1)r．但因r，s互质，．‘．sl
(g一1)．设g一1=7s，7∈N+，则q一7+1．
注2综合定理1，2，若{日}有等比子数
列，则等比子数列的公比q的集合是
Q一{q』q：7+1，7一1，2，…}．
例等差数列
一7，一2，3，8，…，5，2—12，…
日-一一7，d=5，‘．．一一÷是有理数，它
有等比子数列．’．‘s一5，子数列的公比q一5m
+1，7一1，2，…
‘
．d>0，等比子数列的第一项必须是原
数列的正项．例如，当一1，q：6．以3为首
项，6为公比的子数列是3，18，108，…以8为
首项，6为公比的子数列是8，48，288，…当，
一2，q=l1．以3为首项，l1为公比的子数列
是3，33，363，…以8为首项，l1为公比的子
数列是8，88，968，…
参考文献
1郑日锋．关于等差(比)数列中等比(差)子数列的
存在性．中学数学月刊，2002．3．
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