高考数学研究QQ2777676594无穷大与无穷小1/5
数列——（7）
高端视野:无穷大与无穷小
一、无穷小
1.定义:极限为零的变量称为无穷小.
定义1：如果对于任意给定的正数?(不论它多么小),总存在正数?(或正数X),使得对于适合
不等式????00xx(或?xX)的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式??)(xf,那
末称函数)(xf当0xx?(或??x)时为无穷小,记作).0)(lim(0)(lim
0?????xfxfxxx或
例如,,0sinlim
0??xx?
.0sin时的无穷小是当函数??xx
,01lim???xx?.1时的无穷小是当函数???xx
,0)1(lim????nnn?.})1({时的无穷小是当数列????nnn
注意
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷小与函数极限的关系.
定理1),()()(lim
0xAxfAxfxx??????
其中)(x?是当0xx?时的无穷小.
证：必要性
,)(lim0Axfxx??设,)()(Axfx???令,0)(lim0??xxx?则有
).()(xAxf????
充分性
),()(xAxf???设,)(0时的无穷小是当其中xxx??
))((lim)(lim00xAxfxxxx?????则)(lim0xAxx????.A?
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
).(,)()(.20xAxfxxf?误差为附近的近似表达式在给出了函数?
2.无穷小的运算性质:
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证：,时的两个无穷小是当及设??x??
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使得,0,0,021?????NN?
;21????时恒有当Nx;22????时恒有当Nx
},,max{21NNN?取恒有时当,Nx?
???????22????,??
)(0?????x??
注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
是无穷小，时例如nn1,,??.11不是无穷小之和为个但nn
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证：内有界，在设函数),(100?xUu
.0,0,0101MuxxM???????时恒有使得当则??
,0时的无穷小是当又设xx??
.0,0,0202Mxx??????????????时恒有使得当
},,min{21????取恒有时则当,00????xx
?????uuMM???,??
.,0为无穷小时当????uxx
推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
xxxxx1arctan,1sin,0,2时当例如?都是无穷小
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义2如果对于任意给定的正数M(不论它多么小),总存在正数?(或正数X),使得对于适
合不等式????00xx(或?xX)的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式
Mxf?)(,则称函数)(xf当0xx?(或??x)时为无穷小,记作
).)(lim()(lim0???????xfxfxxx或
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
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))(lim()(lim)()(00????????????xfxfxxxxxx或
注意:
1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
.)(lim.20认为极限存在切勿将???xfxx
3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
.,1sin1,0,但不是无穷大是一个无界变量时当例如xxyx??
),3,2,1,0(
22
1)1(
0????kkx??取
,22)(0????kxy.)(,0Mxyk?充分大时当无界，
),3,2,1,0(21)2(0???kkx?取
,,??kxk充分大时当??kkxyk2sin2)(?但.0M??不是无穷大．
.11lim1????xx证明例
证:.0??M,
11Mx??要使
,11Mx??只要
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,1M??取,110时当Mx?????.11Mx??就有
.11lim1?????xx
.
)(,)(lim:0
0的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义xfyxxxfxx?????
三、无穷小与无穷大的关系
定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
证:.)(lim
0???xfxx设
时使得当???????????00,0,0xx
,1)(??xf恒有.)(1??xf即
.)(1,0为无穷小时当xfxx??
.0)(,0)(lim,0???xfxfxx且设反之
时使得当??????????00,0,0xxM,1)(Mxf?恒有
,0)(?xf由于.)(1Mxf?从而
.)(1,0为无穷大时当xfxx??
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
(1)无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3）无界变量未必是无穷大.
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思考题
若0)(?xf，且Axf
x????)(lim
，问：能否保证有0?A的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.例xxf1)(?,0??x01)(??xxf?
???)(limxfx
.01lim??
???Axx
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