高考数学研究QQ群305203503120分基础大题训练1/4
120分基础大题训练9
时间：三角8min，概率统计8min,立体几何10min.
要求：40分，按答案标准给分
15．（本小题满分13分）
已知：函数2()3sinsincos222xxxfx?????(0)?的周期为?．
（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）求函数()fx的单调递增区间.
16．（本小题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF?中，四边形ABCD为正方形，//EFAB，EFEA?，
2ABEF?，090AED??，AEED?，H为AD的中点．
（Ⅰ）求证：//EH平面FAC；
（Ⅱ）求证：EH?平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角AFCB??的大小．
E
D
AB
C
F
H
高考数学研究QQ群305203503120分基础大题训练2/4
17．（本小题满分13分）
将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四
个盒子中，每个盒子放一个球，?表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数．
（Ⅰ）求1号球恰好落入1号盒子的概率；
（Ⅱ）求?的分布列和数学期望?E．
解：（Ⅰ）31()(1cos)sin22fxxx?????……………………………4分
3()sin()32fxx?????……………………………6分
因为函数的周期为?
所以2??……………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知3()sin(2)32fxx????……………………………8分
当222()232kxkkZ???????????时函数单增………………………10分
5()1212kxkkZ?????????……………………………12分
所以函数()fx的单增区间为5[,]1212kk??????，其中kZ?……………13分
高考数学研究QQ群305203503120分基础大题训练3/4
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：ACBDO?，连结HO，FO
因为ABCD为正方形，所以O是AC中点，
又H是AD中点，
所以1//,2OHCDOHCD?，
1//,2EFABEFAB?，
所以//EFOH且EFOH?，
所以四边形EHOF为平行四边形，
所以//EHFO，
又因为FO?平面FAC，EH?平面FAC．
所以//EH平面FAC．……………………………4分
（Ⅱ）证明：因为AEED?，H是AD的中点，
所以EHAD?……………………………6分
又因为//ABEF，EFEA?，所以ABEA?
又因为ABAD?所以AB?平面AED，
因为EH?平面AED，
所以ABEH?，……………………………8分
所以EH?平面ABCD．………………………9分
（Ⅲ）AC，BD，OF两两垂直，建立如图所示的坐标
系，设1EF?，
则2AB?，
(0,2,0)B，(2,0,0)C?，(0,0,1)F……………10分
设平面BCF的法向量为1(,,)nxyz?，(2,2,0),(2,0,1)BCCF????，
110,0nBCnCF????
所以1(1,1,2)n??……………………………11分
平面AFC的法向量为2(0,1,0)n?……………………………12分
yxA
OH
E
D
B
C
F
z
OH
E
D
AB
C
F
高考数学研究QQ群305203503120分基础大题训练4/4
1212
12
1cos,2nnnn
nn
?????
?
．……………………………13分
二面角AFCB??为锐角，所以二面角AFCB??等于3?．……………………14分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）设事件A表示“1号球恰好落入1号盒子”，
33
441()4APAA??
所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14…………5分
（Ⅱ）?的所有可能取值为0，1，2，4…………6分
44333(0)8PA?????
44421(1)3PA?????
22
441(2)4CPA????
4411(4)24PA????
（每个1分）…………10分
所以?的分布列为
?0124
P381314124
……………………11分
数学期望31110124183424E??????????…………………13分
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