函数——（5）
高端视野：凹凸性
凹凸函数的几何特征：
几何特征1（形状特征）
图1（凹函数）图2（凸函数）
如图，设21,AA是凹函数y=)(xf曲线上两点，它们对应的横坐标12xx?，则
111(,())Axfx，222(,())Axfx，过点122xx?作ox轴的垂线交函数于A，交21AA于B，
凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A与2A之间的部分位于弦21AA的下方;
凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A与2A之间的部分位于弦21AA的上方。
简记为：形状凹下凸上。
几何特征2（切线斜率特征）
图3（凹函数）图4（凸函数）
设21,AA是函数y=)(xf曲线上两点，函数曲线1A与2A之间任一点A处切线的斜率：
凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(xf随x增大而增大；
凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(xf随x增大而减小；
简记为：斜率凹增凸减。
几何特征3（增量特征）
图5（凹函数）图6（凸函数）
图7（凹函数）图8（凸函数）
设函数??gx为凹函数，函数??fx为凸函数，其函数图象如图5、6所示，由图7、8
可知，当自变量x逐次增加一个单位增量x?时，函数??gx的相应增量12,,yy??，…越
来越大；函数??fx的相应增量12,,yy??，…越来越小；
由此，对x的每一个单位增量x?，函数y的对应增量(1,2,3,)iyi??
凹函数的增量特征是：iy?越来越大；
凸函数的增量特征是：iy?越来越小；
简记为：增量凹大凸小。
凹凸函数的二阶导数几何特征：
①若??fx在区间D上有()0fx???，则??fx在区间D上是凸函数
②若??fx在区间D上有()0fx???，则??fx在区间D上是凹函数
【练1】若定义在区间D上的函数??fx对于D上的任意n个值12,,,nxxx总满足
??????1212nnfxfxfxxxxfnn?????????????，则称??fx为D
上的凸函数.现已知??sinfxx?在??0,?上是凸函数，则在△ABC中，
sinsinsinABC??的最大值是().
A.1
2
B.3
2
C.33
2
D.3
2
【练2】给出定义：若函数()fx在D上可导，即()fx?存在，且导函数()fx?在D上也可
导，则称()fx在D上存在二阶导函数，记????()fxfx?????，若()0fx???在D上
恒成立，则称()fx在D上为凸函数。以下四个函数在0,2?????
??
上不是凸函数的是
（）
A．()sincosfxxx??B．()ln2fxxx??
C．3()21fxxx????D．()xfxxe???
【练3】对于函数xexf?)(定义域中任意)(,2121xxxx?有如下结论：
①)()()(2121xfxfxxf???②)()()(2121xfxfxxf???
③0)()(
21
21???xxxfxf④2)()()2(2121xfxfxxf???
上述结论中正确的结论个数是（）
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4
【练4】已知函数??21xfx??，对于满足120xx??的任意12,xx，给出下列结论：
⑴??????21210xxfxfx???????⑵????212xfxxfx?
⑶????2121fxfxxx???⑷1212()()()22fxfxxxf???
其中正确结论的序号是（）
Ａ．????12Ｂ．????13Ｃ．????24Ｄ．????34
【练5】（北京理）对于函数??fx定义域中任意的1212,()xxxx?，有如下结论：
①??????1212fxxfxfx??；②??????1212fxxfxfx???；
③12
12
()()0fxfxxx???；④1212()()()22xxfxfxf???.
当??lgfxx?时，上述结论中正确结论的序号是_________。
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