函数——（18）
高端视野：迭代函数
设f是D?D的函数，对任意Dx?，记xxf?)()0(，定义))(()()()1(xffxfnn??，
Nn?，则称函数)()(xfn为)(xf的n次迭代.将含有未知函数的等式称为函数方程.
)()(xfn的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察有何规律，由此猜测出)()(xfn
的表达式，然后证明，证明时，常用数学归纳法.
定理若对于任意的Qyx?,，有)()()(yfxfyxf???（1）则Qxxfxf??),1()(.
证由（1）及数学归纳法不难证明：对于任意的正整数n及有理数x，有
)()(xnfnxf?（2）
在（2）中令1?x，得
)(),1()(???Nnnfnf（3）
在（2）中令2,0??nx，得)0(2)0(ff?，?0)0(?f.
?)()())(()()0(0nfnfnnfnnff?????????，
?)()(nfnf???，Zn?.
当??Nn时，)1()()()(fnnfnf?????（4）
由（3），（4）知，
Znnfnf??),1()(（5）
对于任意的Qr?，设
????NnZmnmr,,
，则有
)()()(nmnfnmnfmf??
?)1()1(1)(1)(fnmmfnmfnnmf???
即Qrrfrf??),1()(.
注：在定理中，若加上)(xf为连续函数这一条件，则有
Rxxfxf??),1()(.
定理的证明方法叫做柯西方法，这一方法的基本步骤是依次求出正整数的函数值、整
数的函数值、有理数的函数值，在函数连续的条件下，进一步求出实数的函数值.
【练1】（2009石景山一模理8）
设??1
1xfxx???
，又记????1fxfx?，??????
1kkfxffx??
，1,2,k?，则
??2009fx?_________．
A．1
1xx??
B．1
1xx??
C．xD．1
x?
【练2】（2011丰台一模理8）．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义1()()fxfx?，
21()(())fxffx?，…，1()(())nnfxffx??，n=1，2，3，…．满足()nfxx?的
点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设
12,0,
2()
122,1,
2
xx
fx
xx
????
???
?????
?
则f的n阶周
期点的个数是()
(A)2n(B)2(2n-1)(C)2n(D)2n2
【练3】（2009朝阳一模理14文14）
定义映射fAB?∶，其中????|Amnmn??R，，，B?R．已知对所有的有序正
整数对??mn，满足下述条件：①??11fm?，；②若mn?，??0fmn?，；
③??????11fmnnfmnfmn????????，，，，则??32，的值是________；??fnn，
的表达式为__________（用含n的代数式表示）．
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