函数——（21）
高端视野:罗尔定理
罗尔定理
设函数()fx在区间[,]ab上满足：
1.()fx在闭区间[,]ab上连续；
2.()fx在开区间(,)ab上可导；
3.()()fafb?
那么，在开区间(,)ab内必是（至少）存在一点?，使''()0f??
几何意义
因为()()fafb?，所以AB是水平线，用中学学过的推平行线的几何方法，可以直观地
看出曲线上至少有一点的切线也应该是平行的。
条件分析
定理中的三个条件都很重要，缺少任何一个条件，命题都不能成立。
(1)函数在区间[0,1]满足条件(2)和条件(3)，该函数在(0,1)上的导数恒为1。
(2)函数(),[1,1]fxxx???满足条件1和条件3，但是条件2却遭到破还（()fx在0x?
不可导），结论也不成立。
(3)函数()fxx?满足条件1和条件2,但条件3不满足，该函数在的(0,1)的导数恒为1。
(4)函数2()fxx?在闭区间[1,2]?上，三个条件是充分条件，但不是必要条件。
定理证明
因为()fx在[,]ab上连续，所以由连续函数的最大最小值定理，()fx在[,]ab上取到最
大值M和最小值m，下面分两种情况讨论：
1.Mm?，这就是说()fx恒为常数，此时该函数的导数恒等于零。可以在(,)ab上随
意取一点?，当然有''()0f??。
2.mM?，既然最大最小值不等，而两个端点的函数值相等，从而至少有一个最值不
在端点取到。不妨设最大值不在端点取到。得到：存在(,)ab??，使得()fM??。
因为区间内部取到的最值一定是极值，所以由费马定理，''()0f??。
【练1】(2011海淀一模理14)如图，线段AB=8，点C在线段AB上，
且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点
B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x，△CPD的面积为
()fx.则()fx的定义域为________；''()fx的零点是
_________.
【练2】设)(xf在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(?f。
求证：存在)10(,ξ?，使()()fξfξξ???
【练3】若)(xf在]1,0[上可导，且当]1,0[?x时有1)(0??xf，且1)(??xf，
证明：在)1,0(内有且仅有一个点?使得???)(f
ACPB
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