高考数学研究QQ2777676594函数渐进性1/2
函数——（26）
高端视野:函数渐近性
定义：当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，
那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
特点：无限接近，永不相交，这并不违背定义。分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
需要注意的是：并不是所有曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情
况。
函数的水平渐近线：如果lim()xfxc???存在，则yc?为函数的一条水平渐近线；
函数的垂直渐近线：如果
0lim()xxfx???
存在，则0xx?为函数的一条垂直渐近线；
函数的斜渐近线：如果()lim
xfxax???
存在，且lim[()]xfxaxb????也存在，则yaxb??为函数
的一条斜渐近线。
极限的概念高中没有系统学习，但在高考与模拟试题中经常考，
怎么用初等数学阐释清楚函数渐进性问题，敬请期待第二期方法
和技巧的总结。
【练1】（昌平二模）若对于定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的，且存在常数
?(??R)使得f(x+?)+?f(x)=0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“?—伴
随函数”.有下列关于“?—伴随函数”的结论：①f(x)=0是常数函数中唯一个“?—
伴随函数”；②f(x)=x不是“?—伴随函数”；③f(x)=x2是一个“?—伴随函数”；④
“21—伴随函数”至少有一个零点.其中不正确的序号是___________（填上所有不
正确的结论序号）．
【练2】（昌平一模）有下列命题：
①若()fx存在导函数，则(2)[(2)]fxfx???；
②若函数44()cossinhxxx??，则π1
12h????????
；
③若函数()(1)(2)(2009)(2010)gxxxxx?????，则(2010)2009!g??；
④若三次函数32()fxaxbxcxd????，则“0abc???”是“()fx有极值点”的充要
条件．
其中真命题的序号是____________．
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【练3】（2013西城期末理科）已知函数()fx的定义域为R．若?常数0c?，对x??R，
有()()fxcfxc???，则称函数()fx具有性质P．给定下列三个函数：
①()2xfx?；②()sinfxx?；③3()fxxx??．
其中，具有性质P的函数的序号是___
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