集合是一门数学语言，你读懂了吗？——（5）
高端视野：族
以集合为元素的集合称为族。集合X的所有子集所组成的族记做()PX。
()PX也是集合。
例如{1,2,3}X?，则(){,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}PX??。
()PX的子集?也是X的子集族，?的元是X的子集。为了突出?的元A是X的子集，
我们说A是?中的子集。
请注意不要与?的子集混淆。?的子集是X的子集，?中的子集是X的子集，即?的元。
子集族也是集合。子集族的子集也称为子族。
求解：{1,2,3,,}Xn?，求()PX有多少个元？即X共有多少个子集？
【例1】设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“”［即对任意的a，
b?S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a﹡b与之对应］。若
对任意的a，b?S，有a﹡（b﹡a）＝b，则对任意的a，b?S，下列等式中不恒成
立的是：
Ａ．（a﹡b）﹡a＝aＢ．［a﹡（b﹡a）］﹡（a﹡b）＝a
Ｃ．b﹡（b﹡b）＝bＤ．（a﹡b）﹡［b﹡（a﹡b）］＝b
【例2】非空集合G关于运算?满足：（1）对任意的,,abG?都有,abG??(2)存在,eG?
都有,abbaa????则称G关于运算?为“融洽集”。现给出下列集合和运算：
①G＝｛非负整数｝，?为整数的加法。
②G＝｛偶数｝，?为整数的乘法。
③G＝｛平面向量｝，?为平面向量的加法。
④G＝｛二次三项式｝，?为多项式的加法。
⑤G＝｛虚数｝，?为复数的乘法。
其中G关于运算?为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号）
【例3】（海淀2010理科期末）已知集合{1,2,3,,2}()AnnN??，对于A的一个子
集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素12,ss，都有
12||ssm??，则称S具有性质P。
（Ⅰ）当10n?时，试判断集合{|9}BxAx???和{|31,}CxAxkkN?????
是否具有性质P？并说明理由。
（Ⅱ）当1000n?时，
①若集合S具有性质P，那么集合{2001|}TxxS???是否一定具有性质P？
并说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值。
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