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延庆县2013—2014学年度高考模拟检测试卷
高三数学（理科）2014.3
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项.
1.若集合}012|{???xxA，}1|{??xxB，则BA?=
A.}1,21{B．)1,1(?C．]21,1[?D．)1,21(
2.复数iiiz)1)(1(???在复平面上所对应的点Z位于
A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限
3.设nS是等差数列}{na的前n项和，已知32?a，116?a，则?7S
A．13B．35C．49D．63
4.执行右边的程序框图，则输出的S值等于
A.91817161???
B.9181716151????
C.10191817161????
D.1019181716151?????
5.正三角形ABC中，D是边BC上的点，若3,1ABBD??，则ABAD?=
A.221B．215C．213D．29
6.右图是一个几何体的三视图，则该几何体
的体积是
A.3B.34
C.1D.32
1
2
1
2
主视图左视图
视图
俯视图
1i?
是
否
0,0.5si??
开始
结束10.1ss
i???
输出s0.1ii??
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7.同时具有性质“①最小正周期是?，②图像关于3??x对称，③在]3,6[???上是增函数”
的一个函数是
A.)62sin(???xyB.)32cos(???xy
C.)62sin(???xyD.)62cos(???xy
8.对于函数xexfaxln)(??，(a是实常数),下列结论正确的一个是
A.1?a时,)(xf有极大值，且极大值点)1,21(
0?x
B.2?a时,)(xf有极小值，且极小值点)41,0(
0?x
C.21?a时,)(xf有极小值，且极小值点)2,1(0?x
D.0?a时,)(xf有极大值，且极大值点)0,(0???x
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.
9．设m是常数，若点)5,0(F是双曲线2219yxm??的一个焦点，则m=.
10.圆O的半径为3，P是圆O外一点，5?PO,PC是
圆O的切线，C是切点，则?PC.
11.甲从点O出发先向东行走了km3，又向北行走了km1到达点P，乙从点O出发向北
偏西?60方向行走了km4到达点Q，则QP,两点间的距离为.
12.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有
且仅有两人选择的项目完全相同的概率是.
13.若A为不等式组
??
???
??
?
?
2
0
0
xy
y
x表示的平面区域，则A的面积为；当a的值从2?连
续变化到1时，动直线ayxl??:扫过的A中的那部分区域的面积为.
APB
C
O
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14.已知条件:pABC?不是等边三角形，给出下列条件：
①ABC?的三个内角不全是?60②ABC?的三个内角全不是?60
③ABC?至多有一个内角为?60④ABC?至少有两个内角不为?60
则其中是p的充要条件的是.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在三角形ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,,且2?a，4??C,53cos?B.
（Ⅰ）求Asin的值；
（Ⅱ）求ABC?的面积.
16.（本小题满分14分）
在四棱锥ABCDP?中，?PA平面ABCD，底面ABCD
是正方形，且2??ADPA，FE，分别是棱PCAD,的中点.
(Ⅰ)求证://EF平面PAB；
（Ⅱ）求证:?EF平面PBC；
（Ⅲ）求二面角DPCE??的大小.
17.（本小题满分13分）
对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得
分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右，
列出乙的得分统计表如下：
(Ⅰ)估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；
（Ⅱ）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）
（Ⅲ）在乙所进行的100场比赛中，按表格中各分值区间的场数分布采用分层抽样法取
出10场比赛，再从这10场比赛中随机选出2场作进一步分析，记这2场比赛中得分不低于
30分的场数为?，求?的分布列.
分值[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)
场数10204030
0.020
0.008
0.024
0.048
频率/组距
10203040得分0
F
A
B
E
P
D
C
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18.（本小题满分13分）
已知函数baxxxf???3)(3，),(Ra?.
(Ⅰ)求)(xf的单调区间；
（Ⅱ）曲线)(xfy?在0?x处的切线方程为023???ayax，且)(xfy?与x轴有
且只有一个公共点，求a的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知直线022???yx经过椭圆)0(1:
2
2
2
2????babyaxC的左顶点A和上顶点D，
椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的
动点，直线AS,BS与直线4:?xl分别交于NM,两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值.
20.（本小题满分13分）
对于项数为m的有穷数列}{na，记},,,max{21kkaaab??，即kb为kaaa,,,21?中
的最大值，并称数列}{nb是}{na的“控制数列”，如5,5,2,3,1的控制数列为5,5,3,3,1.
(Ⅰ)若各项均为正整数的数列}{na的控制数列为5,5,4,3,2，写出所有的}{na；
(Ⅱ)设}{nb是}{na的控制数列，满足CCbakmk(1????为常数mk,,2,1??），
求证：kkab?；
M
Y
SD
N
l
BxAO
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(Ⅲ)设100?m，常数)1,21(?a，若nanannn?????2)1(2)1(，}{nb是}{na的
控制数列，求)()()(1001002211ababab???????的值.
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延庆县2013—2014学年度一模统一考试
高三数学（理科答案）2014年3月
一、选择题：)0485(????
DBCCBACC
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.1610.411.7212.3213.2；4714.①③④
三、解答题：)0365(????
15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）?53cos?B，?54sin?B…………1分
?)sin(sinCBA??…………2分
CBCBsincoscossin??…………4分
102722532254?????
…………6分
（Ⅱ）?AaBbsinsin?…………8分
10
27
2
5
4??b，
728??b
…………10分
CabS
ABCsin21???
，…………11分
22728221????
78?………………13分
16.（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：设G是PB的中点,连接GFAG,
∵FE,分别是PCAD,的中点,∴BCGF21//,BCAE21//
∴AEGF//，∴AEFG是平行四边形，∴AGEF//………2分
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∵?EF平面PAB?AG平面PAB,
∴//EF平面PAB………3分
（Ⅱ）∵ABPA?,∴PBAG?,………4分
∵ABCDPA?,∴BCPA?,
又∵ABBC?,∴?BC平面PAB,
∴AGBC?,………6分
∵PB与BC相交,∴?AG平面PBC,
∴?EF平面PBC.………7分
(Ⅲ)以APADAB,,分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系xyzA?，
………8分
∵2??ADPA,∴)0,1,0(E，)0,2,2(C，)2,0,0(P，)1,1,1(F
设H是PD的中点,连接AH∵?AG平面PBC,
∴同理可证?AH平面PCD,∴AH是平面PCD的法向量，
)1,1,0(?AH………9分
)0,1,2(?EC,)2,1,0(??EP
设平面PEC的法向量),,(zyxm??，则0,0????EPmECm?
∴02,02?????zyyx令2?，则1,1??zx
∴)1,2,1(??m?………12分
∴
23263||||·,cos??????AHmAHmAHm?
??.………13分
∴二面角DPCE??的大小为?30………14分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）72.0………2分
（Ⅱ）甲更稳定，………5分
(Ⅲ)按照分层抽样法,在),10,0[),20,10[),30,20[),40,30[
内抽出的比赛场数分别为3,4,2,1,………6分
?的取值为2,1,0，………7分
1574521)0(210
27????
CCP?
，………9分
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1574521)1(210
1317?????
CCCP?
，………10分
151453)2(210
23????
CCP?
,………11分
?的分布列为：
?012
P157157151
………13分
18.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)axxf33)(2???，………1分
(1)当0?a时，0)(??xf恒成立，此时)(xf在),(????上是增函数，…2分
（2）当0?a时，令0)(??xf，得ax??；
令0)(??xf，得ax??或ax?
令0)(??xf，得axa???
∴)(xf在),(a???和),(??a上是增函数，
在],[aa?上是减函数.………5分
（Ⅱ）∵af3)0(???，bf?)0(，
∴曲线)(xfy?在0?x处的切线方程为axby3???，
即03???byax，
∴ab2?，
∴aaxxxf23)(3???………7分
由(Ⅰ)知，
（1）当0?a时，)(xf在区间),(????单调递增，所以题设成立………8分
（2）当0?a时，)(xf在ax??处达到极大值，在ax?处达到极小值，
此时题设成立等价条件是0)(??af或0)(?af，
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即：02)(3)(3?????aaaa或02)(3)(3???aaaa
即：023????aaaaa或023???aaaaa………11分
解得：10??a………12分
由（1）（2）可知a的取值范围是)1,(??.………13分
19.（本小题满分14分）
解：(Ⅰ).椭圆C的方程为1422??yx.………3分
（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且0?k，
故可设直线AS的方程为)2(??xky，………4分
从而)6,4(kM………5分
由
??
???
??
??
14
)2(
22yx
xky得041616)41(
2222?????kxkxk，………7分
设),(11yxS，则
2
2
141416)2(kkx?????
，得
2
2
14182kkx???
，………8分
从而
21414kky??
，即)414,4182(
22
2kkkkS???，………9分
又)0,2(B，故直线BS的方程为)2(41???xky………10分
由
??
???
?
???
4
)2(41
x
xky得
??
???
??
?
ky
x
2
1
4∴
)21,4(kN?，………11分
故kkMN216||??，………12分
又∵0?k，∴322162216||?????kkkkMN，………13分
当且仅当kk216?，即63?k时等号成立，
∴63?k时，线段MN的长度取得最小值为32.…………14分
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20.（本小题满分13分）
（1）数列}{na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；
2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.……3分
（2）因为},,,max{21kkaaab??，},,,,max{1211???kkkaaaab?，
所以kkbb??1.……4分
因为Cbakmk????1，Cbakmk????1，
所以011????????kmkmkkbbaa，即kkaa??1.……6分
因此，kkab?.……8分
（3）对25,,2,1??k，)34()34(234?????kkaak；
)24()24(224?????kkaak；
)14()14(214?????kkaak；)4()4(24kkaak??.
比较大小，可得3424???kkaa.
因为121??a，所以0)38)(1(2414???????kaaakk，即1424???kkaa；
0)14)(12(2244??????kaaakk，即244??kkaa.
又kkaa414??，
从而3434???kkab，2424???kkab，2414???kkab，kkab44?.
因此)()()(1001002211ababab???????
=)()()()()(9999141410107733abababababkk???????????????
=)()()()()(999814241097632aaaaaaaaaakk???????????????
=?
????
25
11424)(kkkaa
=?
???
25
1)38()1(kka
=)1(2525a?.………13分
|
|
