北京市西城区2014年高三一模试卷
数学（理科）2014.4
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120
分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．设全集U?R，集合??|02Axx??≤，??|1Bxx??，则集合??UAB?
A．??2??，B．??1??，C．??2??，D．??2??，
2．已知平面向量??21a??，，??11b?，，??51c??，，若??akbc?∥，则实数k的值为
A．2B．12
C．114
D．114?
3．在极坐标系中，过点π22??????，且与极轴平行的直线方程是
A．2??B．π2??
C．cos2???D．sin2???
4．执行如图所示的程序框图，如果输入2a?，2b?，那么输出的a值为
a=ab
log3a>4
输入a,b
输出a否
是
结束
开始
A．4B．16C．256D．3log16
5．下列函数中，对于任意x?R，同时满足条件????fxfx??和????πfxfx??的函数是
A．??sinfxx?B．??sincosfxxx?
C．??cosfxx?D．??22cossinfxxx??
6．“8m?”是“方程
22
1108xymm????表示双曲线”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年
起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了
??nn?N年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于
A．3B．4C．5D．6
8．如图，设P为正圆面体ABCD?表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距
离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有
PD
C
B
A
A．4个B．6个C．10个D．14个
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．设复数1ii2ixy????，其中,xy?R，则xy??。
10．若抛物线2:2Cypx?的焦点在直线240xy???上，则p?________；C的准线方程为________。
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）
视图面积的最小值是________。
12．若不等式组
1,
0,
26,
x
y
xy
xya
?
??
??
?
???
≥
≥
≤
≤
表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是________.
13．科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），
要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是________。（用数字作答）
14．如图，在直角梯形ABCD中，ABCD∥，ABBC?，2AB?，1CD?，BCa???0a?，P为线
段AD（含端点）上一个动点，设APxAD?，PBPCy??，对于函数??yfx?，给出以下三个结论：
①当2a?时，函数??fx的值域为??1,4；
②??0,a????，都有??11f?成立；
③??0,a????，函数??fx的最大值都等于4。
其中所有正确结论的序号是________。
P
DC
BA
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15．（13分）
在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知222bcabc???。
（I）求A的大小；
（II）如果6cos3B?，2b?，求ABC△的面积。
16．（13分）
在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查。将结果列成频率分布表
如下。根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级。其中寿命大于或等于500天的灯泡就是优
等品，寿命小于300天的灯泡就是次品，其余的灯品是正品。
寿命（天）频数频率
[100,200)200.10
[200,300)30a
[300,400)700.35
[400,500)b0.15
[500,600)500.25
合计2001
（I）根据频率分布表中的数据，写出,ab的值；
（II）某人从灯泡样品中随机地购买了??nn?N个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分．．．．．．
层抽样．．．所得的结果相同，求n的最小值；
（III）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人
所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望。
17．（14分）
如图，在四棱柱1111ABCDABCD?中，底面ABCD和侧面11BCCB都是矩形，E是CD的中点，1DECD?，
22ABBC??。
（I）求证：1BCDE?；
（II）求证：1BC∥平面1BED；
（III）若平面11BCCB与平面1BED所成的锐二面角的大小为π3，求线段1DE的长度。
D1
C1B1A1
ED
C
BA
18．（13分）
已知函数??2ln,,23,,xxxafxxxxa???????
?≤
其中0a≥。
（I）当0a?时，求函数??fx的图象在点????1,1f处的切线方程；
（II）如果对于任意12,xx?R，且12xx?，都有????12fxfx?，求a的取值范围。
19．（14分）
已知椭圆
2
2:1
2
xWy??，直线l与W相交于,MN两点,l与x轴，y轴分别相交于CD、两点，O为
坐标原点。
（I）若直线l的方程为210xy???，求OCD△外接圆的方程；
（II）判断是否存在直线l，使得,CD是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不
存在，说明理由。
20．（13分）
在数列??na中，??1nann??N，从数列??na中选出??3kk≥项并按原顺序组成的新数列记为??nb，并
称??nb为数列??na的k项子列。例如数列12，13，15，18为??na的一个4项子列。
（I）试写出数列??na的一个3项子列，并使其为等差数列；
（II）如果??nb为数列??na的一个5项子列，且??nb为等差数列，证明：??nb的公差d满足108d???；
（III）如果??nc为数列??na的一个??3mm≥项子项，且??nc为等比数列，证明：
1231
12
2mmcccc??????≤.
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