? 小数老师说 函数是高考的重中之重,对于新高一和新高三的童鞋来说,这一块都是你务必想办法拿下来的高地,所以大家加油吧! 函数部分需要大家重点掌握的点:基本初等函数的图像,性质,函数的定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性,对称性,以及零点等,在高考中会渗透到各个知识点,所以大家一定要注意! 一、函数的基本性质1.奇偶性 (1)奇函数:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。 偶函数:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。 如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②具有奇偶性的函数的定义域必须是关于坐标原点对称的区间。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定f(-x)与f(x)的关系; ③作出相应结论: 若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数; 若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②定义域相同的两个奇、偶函数的四则运算性质: 奇+奇=奇;偶+偶=偶 奇*奇=偶;偶*偶=偶;奇*偶=奇 ③函数f(x)是奇函数 <=> 曲线y=f(x)关于原点对称; 函数f(x)是偶函数 <=> 曲线y=f(x)关于y轴对称。 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数); 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ② 函数单调性定义中的x1,x2 ,有三个特征: 一是任意性,尤其是在证明单调性时,不能以特殊值替换; 二是有大小,x1 ≠ x2; 三是同属于一个单调区间。三者缺一不可。 (2)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
(3)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③ 公共定义域内: 增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数; 增函数 - 减函数=增函数;减函数 - 增函数=减函数。 (4)复合函数的单调性: 复合函数单调性符合“同增异减”的原则。 注:求复合函数单调区间时应先求出函数的定义域。 3.周期性 (1)定义: 如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)= f(x),则称f(x)为周期函数; (2)性质: ①f(x+T)= f(x)常常写作 若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期; ②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为。 二、指数函数1、定义 形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数,其中x是自变量,定义域是R。 注: 像 等函数都不是指数函数,要注意区分。 2、指数函数图像与性质 三、对数函数1、对数 一般地,如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么b叫做以a为底N的对数,记作b=logaN。 其中a 叫做对数的底数,N叫做对数的真数。 注: ①负数和0无对数 ②loga1=0 ; loga a=1 ③对数恒等式:loga ax = x (a>0,a≠1);(a>0,a≠1,N>0) 2、指数式与对数式的互化 当a>0且a≠1时,ax=N <=> x=logaN. 用图表示为: 3、常用对数和自然对数 4、对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么我们有: 5、对数的换底公式及其推论 6、对数函数 定义:一般地,函数y= logax (a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数。 图像和性质: 7、反函数 若两个函数互为反函数,则这两个函数: 定义域和值域互换,对应法则互逆,图像关于直线y=x对称。 四、幂函数1、概念 一般地,形如y=xα(α∈R)的函数叫做幂函数。其中x为自变量,α为常数,其特征是以幂的底为自变量,指数为常数。 注: ① 有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图像都通过点(1,1)。 ② 确定一个幂函数,只需求出α即可。 2、图像和性质: 在同一直角坐标系内作出幂函数y=x,y=x2,y=x3, ,y=x-1的图像: 从图像观察总结出规律: 所有的幂函数y=xα (α∈R)在(0,+∞)上都有定义。 ① α>0时,图像过点(0,0)和(1,1),在第一象限内为增函数。 ② 0<α<1时,曲线上凸;α>1时,曲线下凸。 ③ α<0时,幂函数图像过点(1,1),在第一象限内为减函数。 ④ α=1时,图像为过点(0,0)和(1,1)的直线。表示 ⑤ α=0时,y=xα 表示过点(1,1)且平行于x轴的直线【除去点(0,1)】 3、幂函数的奇偶性 状元小提示
易错点及例题分析 易错点1:特殊函数的定义域问题 例: 错误解法: 错因分析: 正确答案: 易错点2:复合函数的单调性判断 例: 错误解法: 错因分析: 正确答案: |
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