硬币正反

       你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议:"让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。"那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢?这基本是废话，当然该。问题是，这个游戏公平吗?

每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡，一种是纯策略纳什均衡，也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少;或者是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什均衡。

你\美女	美女出正面	美女出反面
你出正面	+3，-3	-2，+2
你出反面	-2，+2	+1，-1

假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，由此列出方程就是

3x + (-2)*(1-x)=(-2) * x + 1*( 1-x )纳什均衡

解方程得x=3/8。

同样，美女的收益，列方程

-3y + 2( 1-y)= 2y+ (-1) * ( 1-y)

解得y也等于3/8，而美女每次的期望收益则是 2(1-y)- 3y = 1/8元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况下，平均每次美女赢1/8元。

其实只要美女采取了(3/8,5/8)这个方案，不论你再采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元;如果全部出反面，每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是-1/8元。但是当你也采用最佳策略时，至少可以保证自己输得最少。否则，你肯定就会被美女采用的策略针对，从而赔掉更多。