探究1平面几何问题的向量解法．(1)坐标法．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法．适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．【思路】向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．探究2解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．探究3向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归．三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点；垂心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．【解析】由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.【答案】B【讲评】本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形的垂心的定义等相关知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．【答案】D【答案】B答案D答案C答案A高考调研第页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究平面向量的综合应用题型一向量与平面几何【答案】9思考题1【答案】D题型二向量与三角函数【答案】(1)60°(2)B＝60°，ymax＝2思考题2题型三向量与解析几何思考题3【答案】C高考调研第页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解
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例1已知ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________．
【解析】方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0≤y≤3,0≤x≤4，则·(－)＝·＝(x，y)·(0,3)＝3y，当y＝3时，取得最大值9.
方法二：(基向量法)＝＋，－＝，
·(－)＝(＋)·
＝2＋·＝9－·
＝9－||||cosBAC＝9－3||cosBAC.
∵cos∠BAC为正且为定值，
当||最小即||＝0时，·(－)取得最大值9.
(1)(2014·山东理)在ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，ABC的面积为________．
【解析】根据平面向量数量积的概念得·＝||·||cosA，当A＝时，根据已知可得||·||＝，故ABC的面积为||·||sin＝.
【答案】
(2)如图所示，在ABC中，ADAB，＝，||＝1，则·＝()
A．2B.
C. D.
【解析】·＝(＋)·＝·＋·＝·＝·＝||||cosBDA＝||2＝.
例2已知在锐角ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos()取最大值时，B的大小．
【解析】(1)p∥q，
(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0.
sin2A＝，sinA＝.
ABC为锐角三角形，A＝60°.
(2)y＝2sin2B＋cos()
＝2sin2B＋cos()
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°
＝1－cos2B＋sin2B＝1＋sin(2B－30°)，
当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.
(2015·河南中原名校联考)在ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为对应的三条边，
(1)判断ABC的形状；
(2)若|＋|＝2，求·的取值范围．
【解析】(1)由＝及正弦定理，得sinB＝sin2C.
B＝2C或B＋2C＝π.
若B＝2C，且π(舍去)．
若B＋2C＝π，则A＝C，ABC为等腰三角形．
(2)∵|＋|＝2，a2＋c2＋2accosB＝4.
又a＝c，cosB＝.
而cosB＝－cos2C，
由(1)知a＝c，·＝a2cosB＝2－a2(，1)．
【答案】(1)等腰三角形(2)(，1)
例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最小值．
【解析】(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，
得||2－||2＝0.
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0.
化简得＋＝1.
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)因为·＝(－)·(－)
＝(－－)·(－)
＝(－)2－＝－1，
P是椭圆＋＝1上的任意一点，
设P(x0，y0)，则有＋＝1，
即x＝16－.又N(0,1)，
所以＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20.
因为y0[－2，2]，
所以当y0＝2时，取得最小值(2－1)2＝13－4(此时x0＝0)．
故·的最小值为12－4.
【答案】(1)＋＝1(2)12－4
若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为()
A．2 B．3
C．6 D．8
【解析】由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3(1－)．因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3(1－)＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2.因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6，故选C.
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2．三角形各心的向量表示
(1)O是ABC的重心＋＋＝0；
(2)O是ABC的垂心·＝·＝·；
(3)O是ABC的外心||＝||＝||(或2＝2＝2)；
(4)O是ABC的内心·(－)＝·(－)＝·(－)＝0.
注意向量λ(＋)(λ≠0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)
1．将平面向量与三角形外心结合考查
例1若O为ABC内一点，||＝||＝||，则O是ABC的()
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
2．将平面向量与三角形垂心结合考查
例2点P是ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则点P是ABC的()
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【解析】由·＝·，得·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，则PBCA.
同理PABC，PCAB，所以P为ABC的垂心．故选D.
3．将平面向量与三角形内心结合考查
例3O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过ABC的()
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【解析】因为是向量的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，故选B.
4．将平面向量与三角形重心结合考查
例4点P是ABC所在平面内任一点．G是ABC的重心＝(＋＋)．
【证明】＝＋＝＋＝＋，
3＝(＋＋)＋(＋＋)．
点G是ABC的重心，＋＋＝0.
＋＋＝0，即3＝＋＋.
由此得＝(＋＋)．
反之亦然(证略)．
5．将平面向量与三角形四心结合考查
例5已知向量，，满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1，求证：P1P2P3是正三角形．
【证明】由已知条件可得＋＝－，两边平方，得·＝－.
同理·＝·＝－.
||＝||＝||＝.
从而P1P2P3是正三角形．
1．若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(－)·(－)＝0，则点P的轨迹一定过ABC的()
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
2．已知O，N，P在ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是ABC的()
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
解析由||＝||＝||知，O是三角形的外心，排除答案A，B.
由＋＋＝0得出N必然为重心．
·＝·，(－)·＝0.
·＝0，CA⊥PB，同理，APBC.
∴P为ABC的垂心，故选C.
3．在ABC中，若动点P满足2＝2－2·，则P点轨迹一定通过ABC的()
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析2·＝2－2＝(－)·(＋)＝·(＋)，即2·＝·(＋)，·(2－－)＝·(＋)＝0.以，为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．点P在线段AB的中垂线上，故选A.
4．已知非零向量与满足(＋)·＝0且·＝，则ABC为()
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
思路本题可先由条件的几何意义得出AB＝AC，再求得A＝，即可得出答案．
解析因为非零向量与满足(＋)·＝0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又cosBAC＝·＝，所以BAC＝.
所以ABC为等边三角形．故选D.
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