1．幂函数的定义函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图像(如下图)3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)有定义，并且图像都通过点 ．(2)如果α>0，那么幂函数的图像过原点，并且在区间[0，＋∞)上为 ．(3)如果α<0，那么幂函数图像在区间(0，＋∞)上是________．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴．(4)当α为奇数时，幂函数为 ，当α为偶数时，幂函数为 ．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)y＝x0的图像是一条直线．(2)幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1)．(3)幂函数的图像不可能出现在第四象限．(4)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(5)若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×解析(1)中y＝x0的图像是一条直线去掉了(0,1)点．(2)中y＝x－1不过(0,0)点．(5)中y＝x－1是(－∞，0)，(0，＋∞)上的减函数．2．把幂函数y＝x－2向左平移2个单位后的函数为()A．y＝x－2－2 B．y＝x－2＋2C．y＝(x－2)－2 D．y＝(x＋2)－2答案D答案C答案(1)m＝1(2)单调递减例1如图，为幂函数y＝xn在第一象限的图像，则C1，C2，C3，C4的大小关系为()A．C1>C2>C3>C4B．C2>C1>C4>C3C．C1>C2>C4>C3D．C1>C4>C3>C2【解析】观察图形可知，C1>0，C2>0，且C1>1，而01D．n<－1，m>1【解析】借助y＝x，y＝x－1的图像易知，n<－1,01，∴选C.【答案】C(2)若loga2b>1 D．b>a>1方法三：在同一直角坐标系xOy中做出满足条件的函数y＝logax与y＝logbx的图像，如图所示．由图，答案选B.【答案】B幂函数y＝xα的性质和图像，由于α的取值不同而比较复杂，一般可以从三方面考查：(1)α的正负：α>0时图像经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时图像不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”．(2)曲线在第一象限的凹凸性；α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹．(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．答案D解析对幂函数y＝xα当α∈(0,1)时，其图像在x∈(0,1)部分在直线y＝x上方，且图像过点(1,1)，当x>1时其图像在直线y＝x下方，故经过第①⑤两个卦限．答案D答案A4．已知实数a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是()A．1 B．2C．3 D．4答案B答案B思考题4高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第8课时幂函数及基本初等函数的应用y＝xα(1,1)增函数减函数奇函数偶函数答案B解析因为a<0，b>1,0
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，了解它们的变化情况．
请注意
从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．
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受人以渔
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题组层级快练
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3．设a＝log2，b＝log，c＝()0.3，则()
A．a
C．b
4．方程()x＝|log3x|解的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析画出函数y＝()x与y＝|log3x|的图像，其交点个数为2.
5．已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
解析(1)f(4)＝－，－4m＝－.m＝1.
(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：
任取0
f(x1)－f(x2)＝(－x1)－(－x2)
＝(x2－x1)(＋1)．
00，＋1>0.
f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
授人以渔
例2比较下列各组数的大小．
(1)1.1，0.9，1；
(2)(－)，(－)－，(－1.1).
【解析】(1)把1看作1，考查幂函数y＝x，在(0，＋∞)上它是增函数．
0<0.9<1<1.1，0.9<1<1.1.
即0.9<1<1.1.
(2)因为(－)＝()，
(－)－＝(－)＝()，
(1.1)＝(1.12)＝1.21.
幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，且<<1.21.
(－)－<(－)<(－1.1).
【答案】(1)0.9<1<1.1
(2)(－)－<(－)<(－1.1)
(1)3－和3.1－；
(2)8－和()；
(3)(－)－和(－)－；
(4)4.1，3.8－和(－1.9)－.
【解析】(1)y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，且0<3<3.1，
3－>3.1－.
(2)y＝x－在(0，＋∞)上单调递减且0<8<9，
8－>9－＝().
(3)∵y＝x－在(0，＋∞)上单调递减且为偶函数，
y＝x－在(－∞，0)上单调递增且－<－.
(－)－<(－)－.
(4)(－1.9)－<3.8－<(4.1).
【答案】(1)3－>3.1－(2)8－>()
(3)(－)－<(－)－
(4)(－1.9)－<3.8－<(4.1)
已知幂函数f(x)＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.
例4将下列各数按从大到小的顺序排列：log89，log79，log3，log29，()3，()π.
【解析】log29＝(－log29)2＝log9，
在同一坐标系内作出y＝log8x，y＝log7x，y＝log2x的图像如图所示，当x＝9时，由图像知log29>log79>log89>1＝log88，log9>log79>log89>1.
即log29>log79>log89>1.
y＝x在R上是减函数，
1>3>π>0.又log3<0，
综上：log29>log79>log89>3>π>log3.
【答案】log29>log79>log89>3>π>log3
【解析】方法一：由对数函数的性质可知，
0
则loga2＝log2＝－1，logb2＝log2＝－.
满足loga2
方法二：由loga2
log2b
又函数y＝log2x是增函数，从而b
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1．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：，，，，，，，(如图所示)，那么幂函数y＝x的图像经过的“卦限”是()
A．B．
C． D．
2．当0
A．(1－a)>(1－a)b B．(1＋a)a>(1＋b)b
C．(1－a)b>(1－a) D．(1－a)a>(1－b)b
3．(2015·沧州七校联考)若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin，则a，b，c的大小关系为()
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析a＝20.6>20＝1；logπ1b>c，选A.
解析设x＝2a，则有x(1,2)．依题意，得M＝2a＋21－a＝2a＋＝x＋.易知函数y＝x＋在(1，)上是减函数，在(，2)上是增函数，因此有2≤M<3，M的整数部分是2.
5．当0
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
解析由04x>0，可得0
由4＝loga，可得a＝.
令f(x)＝4x，g(x)＝logax，若4x
则说明当0.
综上可得a的取值范围是(，1)．
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