1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．请注意与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．1．有理数幂的运算性质(1)ar·as＝.(2)(ar)s＝.(3)(ab)r＝(其中a>0，b>0，r，s∈Q)．2．根式的运算性质(2)负数的偶次方根 ．(3)零的任何次方根 ．3．指数函数的概念、图像和性质(1)形如 (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数．(2)定义域为R，值域为 ．(3)当01时，y＝ax在定义域内是 (单调性)；y＝ax的图像恒过定点 ．(4)当00，则ax∈ ；若x<0，则ax∈ ；当a>1时，若x>0，则ax∈ ；若x<0，则ax∈ ．答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√答案D解析y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x在定义域内为增函数，∴y1>y3>y2.4．设y＝a－x(a＞0且a≠1)，当a∈____________时，y为减函数；此时当x∈____________时，0d>1>a>b探究1化简或计算指数式，要注意以下几点：(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数为正指数；③化小数为分数运算；④注意运算顺序．(2)计算结果的形式：①若题目以根式形式给出，则结果用根式的形式表示；②若题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂的形式给出；③结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(3)在条件求值问题中，一般先化简变形，创造条件简化运算而后再代入求值． 化简：②由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．③由图像知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图像只有两个公共点，则实数a的取值范围是________．【解析】①当a>1时，如图知y＝2a与y＝|ax－1|的图像只有一个公共点．探究2利用指数函数的图像判断单调性、求最值、判断方程的解的个数等问题是学生应熟练掌握的基本功． (1)函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．00D．00，∴y>1，故y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y>1}．【答案】(1)定义域为{x|x∈R，且x≠4}，值域为{y|y>0，且y≠1}(2)定义域为R，值域为{y|y>1}【答案】(1)定义域为R，值域为{y|－11和00，且a≠1)的图像可能是()答案C解析当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以y＝ax－a的图像必过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．函数y＝ax－2015＋2015(a>0，且a≠1)的图像恒过定点________．答案(2015,2016)5．函数y＝e1－x2的图像大致是()答案C解析易知函数f(x)为偶函数，因此排除A，B；又因为f(x)＝e1－x2>0，故排除D，因此选C.题型三指数函数的性质及应用思考题3思考题4高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第6课时指数函数ar＋sarsarbra|a|无意义都等于零y＝ax(0，＋∞)减函数增函数(0,1)(0,1)(1，＋∞)(1，＋∞)(0,1)题型一指数式的计算思考题1题型二指数函数的图像及应用【答案】(1)①②由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．③由图像知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．思考题2高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第二章函数与基本初等函数课前自助餐
受人以渔
自助餐
题组层级快练
课前自助餐
(1)当n为奇数时，有＝；当n为偶数时，有＝.
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．
(1)()4＝－4.
(2)(－1)＝(－1)＝.
(3)函数y＝2x－1是指数函数．
(4)函数y＝a－x是R上的增函数．
(5)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．
(6)函数y＝()1－x的值域是(0，＋∞)．
2．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则()
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
3．(课本习题改编)
(1)()0－(1－0.5－2)÷(3)＝__________.
(2)若x＋x－1＝3，则x＋x－＝________；
x2＋x－2＝__________.
(3)1.1，0.6，0.6从小到大的顺序为________．
答案(1)3(2)，7(3)0.6＜0.6＜1.1
解析(1)原式＝1－(1－)÷＝1－(－3)÷＝3.
(2)(x＋x－)2＝x＋x－1＋2＝5，
x＋x－＝，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝32－2＝7.
授人以渔
例1(1)(3)－－(5)0.5＋(0.008)－÷(0.02)－×(0.32)；
(2)－(－1)0－；
【解析】(1)原式＝()－()＋()÷×＝－＋25××＝－＋2＝.
(2)原式＝－2－1－
＝(－2)－1－(－2)＝－1.
(3)先对条件等式变形，求出x＋x－及x2＋x－2的值．
由x＋x－＝3，两边平方，得x＋x－1＝7.
再平方得x2＋x－2＝47.
由(x＋x－)·(x＋x－1)＝x＋x－＋x＋x－，得3×7＝x＋x－＋3.
【答案】(1)(2)－1(3)
(1)(－)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；
【答案】(1)－(2)3
例2(1)已知函数y＝()|x＋1|.
作出图像；
由图像指出其单调区间；
由图像指出当x取什么值时有最值．
【解析】方法一：由函数解析式可得
y＝()|x＋1|＝
其图像由两部分组成，如图所示：
一部分是：y＝()x(x≥0)y＝()x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x<0)
y＝3x＋1(x<－1)．
方法二：a.由y＝()|x|可知函数是偶函数，其图像关于y轴对称，故先作出y＝()x的图像保留x≥0的部分，当x<0时，其图像是将y＝()x(x≥0)图像关于y轴对折，从而得出y＝()|x|的图像．
b．将y＝()|x|的图像向左移动1个单位，即可得y＝()|x＋1|的图像，如图所示．
②当0
当0<2a<1，即0
【答案】0＜a＜
(2)设函数y＝x3与y＝()x－2的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【解析】如图所示，设f(x)＝x3，g(x)＝()x－2
f(0)g(2)，f(3)>g(3)，….
x0∈(1,2)．
【解析】原函数化为y＝()x2－2x－3，函数的定义域为R，
设u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
0
即函数的值域为{y|0
∵x∈(－∞，1]时，u为减函数，
x[1，＋∞)时，u为增函数．
又y＝()u为减函数．
y＝()x2－2x－3的单调递减区间为[1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1]．
(1)y＝2；(2)y＝4x＋2x＋1＋1.
【解析】(1)令x－4≠0，得x≠4.
定义域为{x|xR，且x≠4}．
≠0，2≠1.
∴y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．
例4已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性，并证明．
【解析】(1)f(x)的定义域是R，
令y＝，得2x＝－.
2x>0，－>0，解得－1
f(x)的值域为{y|－1
(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝＝1－，
设x1，x2是在R上任意两个实数，且x1
f(x1)－f(x2)＝－＝，
x12x1>0，从而2x1＋1>0,2x2＋1>0，
2x1－2x2<0，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
f(x)为R上的增函数．
函数f(x)＝lg在x(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
【解析】由题意可知，x≤1时，>0，
即1＋2x＋4xa>0.
a>－[()x＋()x]在x(－∞，1]上恒成立．
∵()x，()x均为减函数，
－[()x＋()x]为增函数．
当x≤1时，－[()x＋()x]≤－.
a的取值范围为(－，＋∞)．
【答案】(－，＋∞)
自助餐
1．给出下列结论：
当a<0时，(a2)＝a3；
＝|a|(n>1，nN，n为偶数)；
函数f(x)＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠}；
若5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab>0.
其中正确的是()
A．B．C． D．
解析(a2)>0，a3<0，故错，
a<0，b>0，ab<0.
解析f(x)＝()x－1，
()x>0，f(x)>－1.
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