1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．请注意本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像，仍是2016年高考考查的重要内容．1．函数与映射的概念2．函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素： ．(3)函数的表示法： ．(4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同．3．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)A＝N，B＝N，f：x→y＝|x－1|，表示从集合A到集合B的映射(也是函数)．(4)y＝2x(x∈N)的图像是一条直线．(5)y＝lgx2与y＝2lgx表示同一函数．答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×答案D3.函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]答案15．2016年是闰年，假设月份的集合A，每月的天数构成集合B，f是月份与天数的对应关系，其对应如下：对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？答案是不是例1下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝N，B＝N，f：x→y＝(x－1)2；(4)A＝{衡中高三·一班的同学}，B＝[0,150]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．【解析】(1)是映射，也是函数．(2)不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”．(3)当x＝1时，y值不存在，故应不是映射，更不是函数．(4)是映射，但不是函数，因为集合A不是数集．【答案】(1)是映射，也是函数(2)不是映射，更不是函数(3)不是映射，更不是函数(4)是映射，但不是函数探究1(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时游刃有余． (1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．【解析】①中：P中元素－3在M中没有象．③中，P中元素2在M中有两个不同的元素与之对应．④中，P中元素1在M中有两个不同的元素与之对应．【答案】②⑤(2)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是()【解析】依据函数概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，选项C不符合．【答案】C例2以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？f2：f3：【解析】(1)不是．f1(x)与f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.(2)不是．f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为{x∈R|x≥0}，f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．(3)同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方法．【答案】不同函数(1)(2)；同一函数(3)探究2(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数． 下列函数中一定是同一函数的是________．(1)y＝x与y＝alogax；(2)y＝2x＋1－2x与y＝2x；(4)y＝f(x)与y＝f(x＋1)．【解析】(1)y＝x与y＝alogax定义域不同；(2)y＝2x＋1－2x＝2x(2－1)＝2x相同；(3)f(u)与f(v)的定义域及对应法则均相同；(4)对应法则不相同．【答案】(2)(3)【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)(2)已知f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)．【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.【答案】f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3(3)2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1,1)，求f(x)．【解析】以变量－x代替变量x，于是有：2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得【答案】f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，(－1
受人以渔
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题组层级快练
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(2)A＝R，B＝R，f：x→y＝，表示从集合A到集合B的映射(也是函数)．
(3)f(x)＝＋是一个函数．
(6)y＝x与y＝表示同一函数．
2．已知f(x5)＝lgx，则f(2)等于()
A．lg2 B．lg32
C．lgD.lg2
解析令x5＝t，则x＝t(t>0)，
f(t)＝lgt＝lgt.f(2)＝lg2，故选D.
4．(2015·梅州质检)已知函数f(x)＝则f(f(0))的值为________．
授人以渔
(2)A＝N，B＝R，f：x→y＝±；
(3)A＝N，B＝Q，f：x→y＝；
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
(1)f1：y＝；f2：y＝1；f3：y＝x0.
(2)f1：y＝；f2：y＝()2；f3：y＝
(3)f1：y＝
(3)f(u)＝，f(v)＝；
例3(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
【解析】(1)方法一：设u＝＋1，则＝u－1(u≥1)．
f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)．
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二：x＋2＝(＋1)2－1，
由于x≥0，所以＋1≥1.
f(＋1)＝(＋1)2－1，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
∴解得或
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，(－1＜x＜1)．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
(1)f(－1)＝x－2；
(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2；
(3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f＝2x，xR且x≠0.
【解析】(1)方法一：设u＝－1，则＝u＋1(u≥－1)，
f(u)＝(u＋1)2－2(u＋1)＝u2－1(u≥－1)，
即f(x)＝x2－1(x≥－1)．
方法二：x－2＝(－1)2－1，
由于x≥0，所以－1≥－1.
f(－1)＝(－1)2－1，即f(x)＝x2－1(x≥－1)．
(3)∵2f(x)＋f＝2x，
将x换成，则换成x，
得2f＋f(x)＝.
由消去f，得3f(x)＝4x－.
f(x)＝x－(xR且x≠0)．
【答案】(1)f(x)＝x2－1(x≥－1)
(2)f(x)＝x2＋2x＋1
(3)f(x)＝x－(xR且x≠0)
例4(1)(2013·福建文)已知函数f(x)＝则f(f())＝________.
【解析】∈[0，)，
f()＝－tan＝－1.
f(f())＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
(2)(2014·浙江理)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
【解析】结合图形(图略)．由f(f(a))≤2可得f(a)≥－2，可得a≤.
(2)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是()
A．[－1,1] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[－2,2]
【解析】依题意可知或解得a[－2,2]．
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A．k3 B．k
C. D．不确定
5．(2015·《高考调研》原创题)已知函数f(x)＝则f(2016)＝________.
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例1设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1)＋f(x2)＝2f()f()，f(π)＝－1，则f(0)＝________.
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