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最近股灾，有人说，这将开启中国对冲基金的黄金时代，有人说，单炒股已经是死路，宏观对冲、大类资产配置才能立于不败之地，这是宏观对冲基金最好的时代，还有人说，量化投资的时代真正到来了。。。 为纪念这次股灾，为未来更好的应对风险，数说君重发量化投资系列，跟大家一起学习交流。 资本资产定价模型（CAPM），被称为现代金融学的基石——做量化投资，不得不从这里开始。 量化投资之资本资产定价模型（CAPM）目录 一、前言 二、CAPM模型 1. 切点组合、分离定理与市场组合 2. 资本市场线 3. 证券市场线（资本资产定价模型） 4. 超额收益形式的CAPM模型 三、后记：quant的未来 附：量化投资系列 一、前言数说君在《量化投资之动量反转》中曾经介绍过（微信公众号“数说工作室”中回复dlfz），现代金融学的两大基石是有效市场假说（EMH）和资本资产定价模型（CAPM）。有效市场假说是为了方便研究金融市场而对经济世界做的一个假想，而资本资产定价模型就基于这个假设： （1）这个模型是干嘛的？ 它是为了研究资本的收益与风险之间的定量关系。 （2）为什么要研究这个？ 我们知道，这个世界有一个基本规律：风险越高、收益越高。当一个产品风险低而收益又高的时候，一定会有大量资金涌入瓜分掉收益。 因此，通过研究资本收益与风险之间的定量关系，我们可以判断这只股票价格的“合理性”，如果风险太大而价格又很低、或者风险太小而价格又太高，说明其价格不合理，有很大变动的可能。此外，还可以估计各种宏观经济变化对股票价格的影响。 二、CAPM模型1. 切点组合、分离定理与市场组合我们先把前言中说的“研究资本收益与风险之间的定量关系”这个东西放一放。先从金融市场上两个很重要的问题入手——每一天每一刻，投资人们无不在绞尽脑汁思考的两个问题——（1）有没有一个收益最大、风险最小的投资组合？（2）它在哪里？ 为了搞清楚这个问题，经济学家们简化了这个世界，在这个简化的世界中，经济学家们找到了这个最优的投资组合，它被称为切点组合。现在，我们就来聊一聊这个最优的“切点组合”。 要了解它的原理，我们需要走进经济学家威廉夏普等构建的简化世界： 根据假设1、2、3，我们知道投资者将会从所有风险证券组合构成的可行区域（下图的灰色区域）中选择其最优证券组合（灰色区域的外圈黑色沿线）。根据假设4，我们知道所有投资者的风险可行区域是相同的。如下图所示，纵轴是组合的预期收益，横轴是组合的标准差，标准差反映了组合收益的变动情况，即风险大小，标准差越大，收益变动越大，越不稳定，说明风险越大。 下面的灰色区域就是所有投资者的可行区域，黑色外沿就是最优的证券组合，为什么是最优的呢？以A点为例，在外沿线上面总能找到一个B，它的风险与A一样，但收益更高。 注意，以上讨论的资产组合，都是有风险的，因为横轴不等于零，在不考虑无风险资产的时候，黑色沿线的组合都是最优组合，但有无风险资产介入情况就有所不同。 根据假设5，市场上只有一种无风险资产C，收益为r0，方差即风险为0，如下图所示。
那么问题就来了，不考虑无风险资产的时候，黑色沿线上的点都是最优组合，考虑无风险资产，为什么情况就不同？实际上，考虑无风险资产的时候，黑色沿线上有一个最最优的点M，M与C的连线优于M与任何其他组合的连线： 聪明的你一定看出来了，CM先与黑色沿线相切，相比其他连线，CM上的点可以在相同标准差下获取更高的期望收益。此时，我们果断抛弃除M之外的其他任何风险组合。 至此，我们得到了两个很有用的东西： （1）切点组合 切点对应的风险组合，即M点，被称为切点组合。 （2）分离定理 分离定理也称分离特性，指最优风险组合的确定，与个别投资者的偏好无关。我们也推导过了，无论是谁，只要是理性投资者，他必定会以M作为他的风险投资组合。 分离定理有什么意义？ 对于从事投资服务的金融机构来说，不管投资者的收益/风险偏好如何，只需找到切点所代表的风险资产组合，再加上无风险证券，就可以为所有投资者提供最佳的投资方案，投资者的收益/风险的偏好，就只需反映在组合中无风险证券所占的比重。 现在，我们回答了投资者们无时无刻不在绞尽脑汁思考的两个问题，的第一个问题——（1）有没有一个收益最大、风险最小的投资组合？回答是有的，它就是切点组合。现在，我们来搞清楚第二个问题（2）它在哪里？ 从上面的图中，我们只能知道有这么一个组合M，但是它具体是什么样的组合，具体是那些证券按照什么比例组合成的？这个我们还不知道，现在我们就来把它搞清楚。 从分离定理中我们知道，所有投资者的风险资产都会选择M，没有其他选择，因此M必然是一个“市场组合”——由所有证券构成的组合，在这个组合中，每一种证券的构成比例等于该证券的相对市值。 为什么呢？假设市场上有一种风险证券E，它没有被包括在组合M中，那么肯定没有人持有它，因为所有人都选择了那个最优的M组合，用它来搭配无风险证券。此时这个风险证券E没有需求只有供给，这会使E的价格一直下降，直到人们认为E有利可图并被纳入到组合M中进行持有，此时也许M变成了M’，但这个M’仍然是市场上最最优的风险组合，并与投资者的偏好无关——也只是换个名称而已。至此我们得到了第三个有用的东西： （3）市场组合 切点组合即市场组合——由所有证券构成的组合，在这个组合中，每一种证券的构成比例等于该证券的相对市值。 而且上述的分析也说明了市场组合中每一种证券的价格都是均衡价格（在这个价格下，供给等于需求），如果不是均衡价格的话，价格可能高于或低于均衡价格，这是买压或卖压会使价格回到均衡水平。 2. 资本市场线目前我们知道了风险组合中，有一个最最优的组合M，它被称为切点组合，也是一个市场组合，如果它搭配无风险证券，那么我们就可以确定一条有效证券组合CM，CM上的点代表（风险组合M 无风险资产C）搭配起来的所有有效组合。那么，从C出发，穿过M点的这条射线，就被称为资本市场线。它描述了有效组合的风险与收益之间的关系。 为什么CM之外的延长线也算上资本市场线？ 因为假设中提到没有卖空和买空的限制，投资者可以借入或者贷出无风险资金，投入到切点组合中。举一个例子，对于某风险厌恶的投资者来说，他可能会选择一般投资于无风险资产C，一般投资于切点组合M，那么他会选择有效组合CM1： CM1=0.5C 0.5M 对于某风险厌恶较轻的投资者来说，他可能会借入无风险资产C，连同自己的本金一起投入到切点组合M上，那么他会选择有效组合CM2： CM2=-0.5C 1.5M 经过上面的分析，我们得到了本节的一个重要的概念：资本市场线（CML） 资本市场线描述了有效组合的风险和收益之间的关系。这个关系如何用公式表达？ 看图就很容易发现：
其中 至此，我们了解了有效组合的预期回报与标准差之间的关系。但是，有效组合作为从简化世界中推导出来的一个庞大的组合，它的现实意义在哪里？我们在前言中不是说要研究CAPM模型，用它来分析“某股票收益与风险之间的定量关系，以判断其价格是否合理”的吗？不错，我们前面讨论的 切点组合——分离定理——市场组合（=切点组合）——资本市场线 就是为了研究这个东西做铺垫。 3. 证券市场线（资本资产定价模型）还是要回到单个风险证券上来，对于单个风险证券，有同学要说话要说： 不（bie）对（sha）的（le），单个证券本身是一个非有效的组合，它始终位于资本市场线的下方。不在资本市场线上，因此不能简单的用标准差来取比例套用这个公式。
此时我们需要把横轴换一换，考虑单个证券的时候，不再用标准差来度量风险，而是用β系数——β系数反映的是单个证券与整体市场组合的联动性，而不是自己的离散程度。
换成β系数之后，公式就出来了：
那么ri与βi之间的关系就是一条直线了：
等下，有同学又要说话了，
还有问题欢迎在微信中实时骚扰（不一定在线），看到一定回复（公众号在接受消息48小时后就不能再回复了）。 本节至此，我们介绍了几个重要的概念： （1）β系数 它反映了单个证券与整体市场组合的联动性，用来衡量单个证券的风险，实际上，我们可以根据β系数来区分股票：
（2）证券市场线（SML） 证券市场线是反映单个风险证券收益与β系数关系的直线，注意它与资本市场线（CML）的区别：
（3）资本资产定价模型（CAPM） 证券市场线其实就是CAPM的图形形式，它的公式：
正是资本资产定价模型CAPM。 4. 超额收益形式的CAPM模型（1）CAPM模型的贡献 CAPM模型是在一些假设的基础上，推导出了资产的定价模型，通过无风险利率、市场收益率、以及β系数可以得到某种资产的“理论”价格，从而帮助投资者对股票进行评价。此外CAPM模型还剔除了新的风险测度方法，即β系数。在实际中，具有较强的可操作性，如，
（2）超额收益形式的CAPM模型 虽然如此，CAPM模型的缺点也是很明显的，它的成立是基于一连串理想化的假设，这些假设在现实中并不全部成立，这必然使得CAPM的作用大打折扣。 其实，数说君在《量化投资之多因子模型》中说过（微信公众号“数说工作室”中回复“factor”），在理想条件下，股票只能获得平均基准收益，而现实中无法满足那些假设要求，股票的收益也不仅只有基准收益，还包括了超额收益，即α收益。
此外，βi度量股票i的风险不用多说，要补充的是它其实是一种系统风险，是不可分散的。εi是股票i的随机误差项，是非系统风险，是可以分散掉的； 三、后记：quant的未来数说君认为，quant的未来是乐观的： 现实中市场越有效效、信息越公开、投资者不理性，标准的CAPM模型就越适用，其对投资的指导意义就越大，传统的Q quant 会比较吃香； 相反，现实中市场越无效、信息越不公开、投资者越不理性，则说明超额收益就越存在，手握数据挖掘、数据分析利器的P quant们的舞台就越大。（这又说到两派quant，重模型的q quant和重数据的p quant，回复“dsj1”查看） 中国的市场显然属于后者，这也说明，中国市场的超额收益的空间比成熟的国外资本市场更大，实际上，市场永远也不可能完全有效，因此未来的quant们一定是一手握模型、一手握数据的复合型人才。 这次股灾的教训大家也看到了，中国股市虽然不能做空，但是期指市场是可以的，前两天商品期货全线跌停，就是被打爆的多头去商品期货对冲的结果。引用平安证券王磊先生的话： “单炒股票已经是死路，宏观对冲，大类资产配置才能立于不败之地。这是宏观对冲基金最好的时代。” 数说工作室 是由几位数据分析行业的爱好者也是从业者做的交流平台，主要依托微博和微信两个媒介，网站也正在筹备中。 主要分享一些零碎化的知识，关于数据挖掘理论、方法、电子书、有趣的结果，以及一些相关的行业应用等信息。 没时间刷微博也没关系，数说君每周会把一些精华内容整理一下，在微信上再发一次： 主要发布一些原创连载，或者行业精选文章。往期目录： 前面【】内的字母是编号，回复可查看相应文章，也可以直接回复相关术语查看，比如回复“多因子”，则会推送相应的多因子选股模型的文章。 话题汇总： 【T1】统计学毕业之后可以坐什么 《概率论-上帝的赌术》系列 【GLL】第一话：古典概率论，一场赌局引发的血案 【GLL】第二话：大数定律，看不见的神的秩序 【GLL】第三话：正态分布，众生的百态 【GLL】第四话：暴走的假设检验 【GLL】第五话：回归模型，命运的方程 【GLL】番外话：常用分布表 【GLL】局部完结篇 金融模型·量化投资系列 【F1】多因子选股模型 【F2】动量反转 【F3】资本资产定价模型(CAPM) 【F4】盈余管理的测量 算法理论&代码 【A1】金融数据挖掘之朴素贝叶斯 【A2】金融数据挖掘之决策树（ID3） 【MB1】面板数据与Eviews操作指南（上） 【MB2】面板数据与Eviews操作指南（下） 【logistic】logistic回归：从生产到使用（使用篇） 【logistic】logistic回归：从生产到使用（生产篇） 【logistic】logistic回归建模指南 【SVM】分类战车SVM：开题话 【SVM】分类战车SVM：线性分类 【SVM】分类战车SVM：最大间隔分类器 【SVM】分类战车SVM：拉格朗日对偶问题 【SVM】分类战车SVM：核函数 【SVM】分类战车SVM：SMO算法 【SVM】分类战车SVM：用Python做SVM模型 《统计师的Python日记》系列 【Python】第1天：谁来给我讲讲Python？ 【Python】第2天：再接着介绍一下Python呗 本系列待续中... 《SAS Says》系列 【SAS】基础篇：SAS软件入门（上） 【SAS】基础篇：SAS软件入门（下） 【SAS】基础篇：读取数据（上） 【SAS】基础篇：读取数据（中） 本系列分基础篇、进阶篇、高级篇，待续中... 《大数据与金融业》资讯系列 【dsj1】P quant与Q quant（转） 【dsj2】P quant的装备之战 【dsj3】银行如何装备Hadoop平台（转） 【dsj4】全面了解大数据在银行业的应用（转） 【dsj5】全面了解大数据在证券业的应用（转） 其他科普文/趣文/资讯： （注意下面的编号是字母 O，不是数字0，看我的嘴型 → 欧~~） 【O1】P值之死 【O2】争鸣！西方经济学流派图 【O3】数说君的自白：人口数据分析 【O4】独立第三方的困局 【O5】余额宝为什么不该被取缔？ 【O6】一位数据分析师的年终总结（行业精选） 【O7】如果有12亿支付宝用户同时向你账户转账一块钱，会发生什么？（行业精选） |
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