结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．4．对三种性质的综合考查；借助函数图象解决问题．第3讲函数的奇偶性与周期性抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练奇、偶函数的概念奇、偶函数的性质周期性考向一考向二考向三函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】函数的奇偶性与周期性函数奇偶性的应用函数奇偶性的判断选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数图象的特征：关于对称．偶函数图象的特征：关于对称．f(－x)＝f(x)原点考点梳理y轴f(－x)＝－f(x)2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数和一个偶函数的积是．相同奇函数考点梳理偶函数相反偶函数奇函数3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有．那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．考点梳理f(x＋T)＝f(x)存在一个最小助学微博奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．一条规律两个性质三条结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．考向一函数奇偶性的判断【方法锦囊】考向一函数奇偶性的判断1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(－x)是否等于±f(x).2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【方法锦囊】考向一函数奇偶性的判断1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断f(－x)是否等于±f(x).2．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件.考向二函数奇偶性的应用[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件.【方法锦囊】抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)、f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.考向二函数奇偶性的应用考向二函数奇偶性的应用[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件.【方法锦囊】抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)、f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.考向二函数奇偶性的应用[审题视点]利用函数奇偶性的定义判断．根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件.【方法锦囊】抽象函数奇偶性的判断方法(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)、f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，进而求得f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和的值．[审题视点]判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点.考向三函数的奇偶性与周期性【方法锦囊】【例3】?设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2],∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，进而求得f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和的值．[审题视点]判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点.考向三函数的奇偶性与周期性【方法锦囊】【训练3】(2013·成都质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于()．A．－2B．2C．－98D．98解析∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案A热点突破4函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题【热点研究】通过对近三年高考试题的分析可以看出，考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质，而是综合考查，所以需要对函数的各个性质非常熟悉，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用．常考题型有选择题、填空题，题目为中档难度．揭秘3年高考一、选择题单击问号出详解单击题号出题干1234A级基础演练二、填空题单击问号出详解单击题号出题干56A级基础演练结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com1.解析由于f(x)的周期为5，f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)．又f(x)为R上的奇函数，f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，即f(3)－f(4)＝－1.
答案A
解析由题知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，显然f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|.
答案A
解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338，故选B.
答案B
解析当x[－1,0]时，－x[0,1]，又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝1－x.
f(x)在R上的周期为2，f＝f＝f＝1－＝.
答案
解析画草图，由f(x)为奇函数的性质知：f(x)>0的x的取值范围：(－1,0)(1，＋∞)．
答案(－1,0)(1，＋∞)
【训练2】函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f<0的解集．
解y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，
y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且由f(1)＝0，得f(－1)＝0.
若f<0＝f(1)，则
即0
解得
【例1】(2013·广州模拟)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝(x－1)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
解(1)由≥0，得－2≤x<2，即函数f(x)的定义域是{x|－2≤x<2}，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)由得－2
即函数f(x)的定义域是{x|－2
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数．
f(x－1)<2f(|x－1|)
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
0<|x－1|<16，解之得－15
x的取值范围是{x|－15
1．(2013·徐州模拟)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()．A．－1B．1C．－2D．2
2．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()．
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数
3．(2012·山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()．A．335B．338C．1678D．2012
4．(2012·浙江)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________.
5．(2013·开封模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
【训练1】判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝lg；(2)f(x)＝(3)f(x)＝.
解(1)由>0－1
故原函数是奇函数．
[教你审题]利用函数周期性和奇偶性把f转化为已知区间内的函数，然后代入解析式求解．
[解法]f(x)是周期为2的奇函数，f＝f＝f＝－f＝－2××＝－.
[答案]A
解析f(x)为R上的奇函数，f(－2)＝f(2)，
又当x＝2时，f(2)＝22－3＝1，f(－2)＝－1.
答案－1
【2】(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝()．
A．－B．－C.D.
【试一试2】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.
(2)函数定义域为(－∞，0)(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)，
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，
故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
(3)由得定义域为(－1,0)(0,1)，关于原点对称，f(x)＝＝－.
f(－x)＝＝－＝f(x)，
f(x)为偶函数．
【1】(2012·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()．
A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝D．y＝x|x|
【试一试1】(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()．
A．y＝cos2x，xR
B．y＝log2|x|，xR且x≠0
C．y＝，xR
D．y＝x3＋1，xR
[教你审题]先确定奇函数，再确定函数单调递增．[判断]选项A为一次函数，不是奇函数，是增函数；选项B是奇函数，不是增函数；选项C是反比例函数，为奇函数，不是增函数；选项D，去绝对值号，变为分段函数，符合题意．
[结论]选D
[反思]通过题目的反复练习，熟练掌握函数奇偶性的判断方法及函数单调性的判断方法．
解析A、B中的函数均是偶函数；C中的函数是奇函数；D中的函数是非奇非偶函数．对于y＝cos2x在上单调递减，上单调递增，不满足题意；对于y＝log2|x|，当x(1,2)时，y＝log2|x|是增函数．
答案B
又f(x)＝＝＝lg(4－x2)，
f(－x)＝lg[4－(－x)2]＝lg(4－x2)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(3)当x<0时，f(x)＝x2＋x，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，f(x)＝－x2＋x，－x<0，
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．
f(x)是奇函数．
【例2】函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
f(－1)＝f(1)＝0.
若f<0＝f(－1)，
则即x<－1，解得x?.
∴原不等式的解集是.
1．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)等于()．A．－5B．－6C．－D．－
解析f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．
log26－2＝log2(0,1)，f＝，
f(log6)＝－.
答案D
2．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()．
A．－3B．－1C．1D．3
解析f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
答案A
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是()．
A．f>fB．f(sin1)
C．ff(sin2)
解析当x[－1,1]时，x＋4[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，
显然当x[－1,0]时，f(x)为增函数；当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin＝>，又f＝f>f，所以f>f.
答案A
4．(2013·连云港一模)已知函数f(x)＝则该函数是()．
A．偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减
解析当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．
答案C
5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝.
解析由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，a＝0.
答案0
6．(2012·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝－1.
解析因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
答案－1
7．(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．
8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)
解由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，
因此f(1－m)
因此实数m的取值范围是.
1．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则()．
A．f(x)是偶函数B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2)D．f(x＋3)是奇函数
解析由已知条件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．则f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函数f(x＋3)也是奇函数．
答案D
2．(2012·福建)设函数D(x)＝则下列结论错误的是()．
A．D(x)的值域为{0,1}B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数
解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．
答案C
3．f(x)＝2x＋sinx为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是.
解析f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－a)
解得
答案
4．若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，则下列结论：f(x)的图象关于点对称；f(x)的图象关于直线x＝对称；f(x)是周期函数，且2是它的一个周期；f(x)在区间(－1,1)上是单调函数．其中所有正确的序号是．
解析由函数为奇函数且满足f(1＋x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，又f＝－f，f＝f，所以正确．
答案
5．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数aR)，
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x[2，＋∞)上为增函数．求实数a的取值范围．
解(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，
因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，
所以函数f(x)＝x2＋既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f′(x)＝2x－＝，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，当a>0时，由f′(x)＝>0，
解得x>，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
可知≤2.解得0
6．(13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2014]上的所有x的个数．
(1)证明f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝x，
设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，
f(－x)＝(－x)＝－x.
∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)，
－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)．
又设1
f(x－2)＝(x－2)．又f(x)是以4为周期的周期函数
f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，－f(x)＝(x－2)，
f(x)＝－(x－2)(1
∴f(x)＝
由f(x)＝－，解得x＝－1.
f(x)是以4为周期的周期函数，
f(x)＝－的所有x＝4n－1(nZ)．
令0≤4n－1≤2014，则≤n≤.
又n∈Z，1≤n≤503(n∈Z)，
在[0,2014]上共有503个x使f(x)＝－.
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